随机抽样

随机抽样1．理解随机抽样的必要性和重要性．2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本．3．了解分层抽样和系统抽样方法．课前自助餐简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数表法．系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．(1)先将总体的N个个体编号．(2)确定分段间隔k，对编号进行分段，当Nn是整数时，取k＝Nn.(3)在第1段中用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)．(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照所占比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几部分组成时，往往选用分层抽样．三种抽样方法的共同点每个个体被抽到的概率相同．1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)．(1)简单随机抽样是从总体中逐个不放回的抽取样本．(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．(3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．(4)分层抽样是将每层各抽取相同的个体数构成样本，分层抽样为保证各个个体等可能入样，必须进行每层等可能抽样．(5)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．答案(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×2．(课本习题改编)2016年2月，为确保食品安全，北京市质检部门检查一箱装有1000袋方便面的质量，抽查总量的2%.在这个问题中下列说法正确的是()A．总体是指这箱1000袋方便面B．个体是一袋方便面C．样本是按2%抽取的20袋方便面D．样本容量为20答案D3．(2015·四川文)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法答案C解析因为要了解三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，所以采用分层抽样的方法最合理．4．(2014·广东文)为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为()A．50B．40C．25D．20答案C解析根据系统抽样的特点求解．根据系统抽样的特点可知分段间隔为100040＝25，故选C.5．(2014·重庆文)某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A．100B．150C．200D．250答案A解析思路一：根据分层抽样时样本中每一层的比与总体中每一层的比相等求解；思路二：先计算抽样比和总体容量，再求解．方法一：由题意可得70n－70＝35001500，解得n＝100，故选A.方法二：由题意，抽样比为703500＝150，总体容量为3500＋1500＝5000，故n＝5000×150＝100.授人以渔题型一简单随机抽样例1(1)用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体M被抽到的概率为()A.1100B.199C.120D.150【思路】在简单随机抽样中，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，可以看作5次抽取，从而求得概率．【解析】一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为1100，用简单随机抽样方式从该总体中抽取容量为5的样本．则每个个体被抽到的概率为1100×5＝120.【答案】C(2)(2016·唐山二模)用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数(下面摘取了随机数表中的第11行至第15行)，根据下图，读出的第三个数是()1818079245441716580979838619620676500310552364050526673897758416074499831146322420148588451093728871234240647482977777810745321408329894077293857910755236281995509226119700567631388022025353866042045337859435128339500830423407968854420687983585294839A．841B．114C．014D．146【思路】从第12行第5列的数开始向右读数，最先读到的一个编号为389→向右读数，将符合条件的选出，不符合条件的舍去【解析】从第12行第5列的数开始向右读数，第一个的编号为389，下一个775，775大于499，故舍去，再下一个841(舍去)，再下一个607(舍去)，再下一个449，再下一个983(舍去)，再下一个114，读出的第三个数是114.【答案】B探究1(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)随机数表中共随机出现0，1，2，…，9十个数字，也就是说，在表中的每个位置上出现各个数字的机会都是相等的．在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或每四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．思考题1(1)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【解析】因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．【答案】C(2)(2013·江西)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070143699728019832049234493582003623486969387481A．08B．07C．02D．01【解析】选出的5个个体的编号依次是08，02，14，07，01，故选D.【答案】D•【2015高考湖北，文2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）•A．134石B．169石C．338石D．1365石•【答案】.•【解析】设这批米内夹谷的个数为，则由题意并结合简单随机抽样可知，，即，故应选.B题型二系统抽样例2采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，首先将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为()A．7B．9C．10D．15【思路】根据已知知所用抽样方法为系统抽样→确定系统抽样中样本号码的选取规则→根据样本选取规则求出每个区间内样本的容量→根据已知的样本容量减去两个区间内的样本容量即得结果【解析】因为总体容量和样本容量都比较大，所以可采用系统抽样(题中已经给出抽样方法)．由已知可得，总体容量为960，样本容量为32，故应分为32组，每组30人，即组距为30.又第一组抽到的号码为9，所以第n组抽到的样本号码为(n－1)×30＋9.方法一：因为45030＝15，所以编号落入区间[1，450]内的个体恰好可分为15组，故该区间抽取的样本容量为15，所以做问卷A的有15人；因为750－45030＝10，即编号在[451，750]内的个体恰好可分为10组，故该区间抽取的样本容量为10，所以做问卷B的有10人；因为一共抽取了32人，所以做C卷的人数为7.方法二：由题意可知，做C卷的人是从编号在[751，960]内抽取的样本．由751≤(n－1)×30＋9≤960，解得25＋1115≤n≤32＋710，又n∈Z，所以26≤n≤32，即样本是从第26组到第32组中选取，故该区间内选取的样本容量为32－26＋1＝7.【答案】A【点评】解决系统抽样问题的两个关键步骤为：(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．探究2(1)系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体，样本容量也较大．(2)各个个体被抽到的机会均等．(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的简单随机抽样，一旦起始编号确定，其他编号也就确定了．(4)若总体容量不能被样本容量整除可以先从总体中随机地剔除几个个体．(5)样本容量是几就分几段，每段抽取一个个体．思考题2(1)(2016·唐山一模)某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．【解析】组距为5，∴(8－3)×5＋12＝37.【答案】37(2)一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽的号码是________．【解析】由题设知，若m＝6，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中数字编号顺次为60，61，62，63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.【答案】63•【2015高考湖南，文2】在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图I所示;•若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为()•A、3B、4C、5D、6•【答案】B•【解析】根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取(人),故选B.•【2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷).文科.6】为了了解名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为的样本,则分段的间隔为()•A.B.C.D.【答案】C•【解析】由题意知,分段间隔为,故选C.题型三分层抽样例3(1)(2015·北京文)某校老年、中年和青年教师的人数见下表．采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A．90B．100C．180D．300【解析】设样本中的老年教师人数为x，则3201600＝x900，解得x＝180，选C.【答案】C(2)(2015·福建文)某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．【解析】设应抽取的男生人数为x，则x900－400＝45900，解得x＝25.【答案】25探究3(1)分层抽样的操作步骤：①将