随机振动理论的数学基础

第六章随机振动前面各章讨论的振动，其激励和响应都是时间的确定函数。但自然界和工程中大量振动现象都是非确定性的。例如在不平路面上行驶的车辆振动、地震引起的结构振动等。它们的共同特征是激励和响应事先不能用时间的确定函数描述。这种具有不确定性的振动过程称作随机振动。随机振动虽不具有确定性，但仍可利用统计的方法研究其规律性。随机振动的数学描述为随机过程，本章将首先简略地讨论随机过程的统计特性。对激励与响应的统计特性相互关系的研究是随机振动的重要内容。在介绍工程中几种典型随机振动问题之后，本章着重讨论线性多自由度系统和连续系统在单个和多个随机激励下的响应，主要采用功率谱密度方法在频率域内进行。最后简要讨论非线性系统的随机振动问题。6-1随机过程的统计特性1．平稳过程和遍历过程随机过程是大量现象的数学抽象。在同样条件下重复同样的试验。例如：在同样道路同样车速条件下进行n次汽车道路试验，记录下汽车大梁上某个点应力的时间历程。每次记录称作一个样本函数，样本的数目n必须很大，理论上应有无限多个。随机过程是所有样本函数的集合，记作X(t)(图6.1)。在任一采样时刻，随机过程的各个样本值都不相同，构成一个随机变量。各个值之所以不同，是由于路面的不规则性等许多不确定因素影响的结果，对于随机过程的研究兴趣不在于样本函数本身，而在于总体的统计特性。图6-1样本函数例如：随机过程在瞬时的集合平均值或简称为均值，也称为数学期望，定义为(6.1.1)式中以符号E表示集合平均。1t)(1txnkknxtxntXEt1111)(1lim)]([)()(tX一般与时刻有关。在和时刻构成两个随机变量和，对各样本和的乘积取集合平均，得到(6.1.2)称作随机过程在和时刻的自相关函数，它既是时间差的函数，也与时刻有关。)(1tx)(tX1t1t1t)(1tX)(1tX)(1txk)(1txk111111(,)[()()]1lim()()xkknRttEXtXtxtxtn),(11ttRx()Xt1t1t1t如果随机过程的均值和自相关函数与采样时刻无关，则称随机过程为(弱)平稳过程，对于平稳过程，均值为常数(6.1.3)而自相关函数仅依赖时差(6.1.4)1txxt)()(),(11xxRttR如果平稳随机过程的均值和自相关函数可以用任何一个充分长的样本函数的时间平均值来计算，即(6.1.5)(6.1.6)则称此平稳过程为(弱)遍历过程。22)(1limTTkTxdttxT22)()(1lim)(TTkkTxdttxtxTR随机过程的遍历性对于工程计算十分重要，因为它为根据实测的少量样本函数来估计此随机过程的统计特性提供理论依据，但要在实践中验证遍历性条件十分困难，只能根据过程的物理性质，先假定有遍历性，待有了足够的数据以后再去检验假定的正确性。以下讨论的随机过程都假定是平稳的和遍历的。2．相关函数式(6.1.6)定义的自相关函数是描述随机变量在不同时刻之间相关程度的统计量。=0时的自相关函数称为随机过程的均方值，用表示（6.1.7）若X表示位移、速度或电流，则均方值相应地与系统的势能、动能或功率成比例。因此可以认为均方值是平均能量或功率的一种测度。)0(xR2x)]([)0(22tXERxx方差是另一个重要的统计量，定义为(6.1.8)若X(t)为随机振动过程，则均值表示静态分量，均值的平方表示静态分量的能量，方差表示动态分量的能量。当均值为零时，方差等于均方值。称作标准差。2222]))([(xxxxtXEx2x2xx自相关函数有以下性质(证明从略):(1)，自相关函数是时差的偶函数。(2)，时差不为零时的自相关函数就是均方值。(3)，时差为零时随机过程的自相关程度最大。(4)，自相关函数为时差的衰减函数，当时趋于均值的平方(图6.2)。)()(xxRR22][)0(xxXER)0()(xxRR2)(limxxR图6.2自相关函数设有两个平稳随机过程X(t)和Y(t)，它们之间相隔时差的相关性由互相关函数描述，定义为)9.1.6()]()([)(tYtXERxy)10.1.6()]()([)(tXtYERyx互相关函数有以下性质(证明从略)：(1)为非奇、非偶函数，但有。(2)(3)性质(3)表明平稳随机过程和它的导数过程在同一时刻互不相关。)(xyR)()(yxxyRR)0()0()(yxxyRRR0)]()([)0(tXtXERxx()Xt()Xt3.功率谱密度函数相关函数给出随机过程在时差域内的统计特性，而功率谱密度则是在频率域内表示随机振动过程在各频率成分上的统计特性。定义平稳随机过程的功率谱密度函数为自相关函数的傅里叶变换，即(6.1.11)()Xt)(xRdeRSixx)()(其逆变换为(6.1.12)以上两式构成傅里叶变换对，称作维纳—辛钦(Wiener—X)关系式。式（6.1.11）的积分存在条件为绝对可积，即(6.1.13)deSRixx)(21)()(xRdRx)(由于自相关函数的衰减性，此条件自然满足。平稳随机过程X(t)本身不满足绝对可积条件，因此不能直接作傅里叶变换。令式(6.1.12)中，得到(6.1.14)可见表示随机过程的均方值在频率域内的分布密度。由于在电学中电压或电流的平方与功率成正比，因此将称作功率谱密度函数，或简称自谱。在随机振动中表示能量在各角频率上的分布密度。dSRxxx)(21)0(2)(xS)(xS)(xS根据物理意义推知(6.1.15)由于为偶函数，式(6.1.11)可写为(6.1.16)可见也是的偶函数。与此类似，式(6.1.12)可写为(6.1.17)0)(xS)(xRdRdiRSxxxcos)(2)sin)(cos()(0dSRxxcos)(1)(0)(xS在整个频率域内定义的称作双边功率谱。工程中实测得到的功率谱仅对的正值有定义，称作单边功率谱，记作，(6.1.18)计算功率谱时通常用频率代替角频率(rad/s)，上式可写作)(xS)(xG)0()(2)(xxSG)(Hzf)19.1.6()(4)(2)(xxxSfSfG维纳—辛钦关系式(10.1.11)和(10.1.12)相应地改写为(6.1.20)(6.1.21)deRfSfixx2)()(dfefSRfixx2)(21)(随机过程的导数过程的功率谱密度可以证明为（6.1.22）同样有（6.1.23）()Xt()Xt)()(2xxSS)()()('42xxxSSS对于两个平稳随机过程X(t)和Y(t)，也可利用傅里叶变换定义它们的互功率谱密度函数，或简称互谱(10.1.24)其逆变换为(10.1.25)deRSixyxy)()(deSRixyxy)(21)(互谱没有自谱那样明显的物理意义，但它在频率域上讨论两个平稳随机过程的相互联系时也具有应用价值，互谱有以下性质(证明从略)：(1)是复函数，其虚部不等于零。(2)是的共轭函数。(3)。)(xyS)(),()()(yxyxyxxySSSS)(yxS)()()(2yxxySSS利用此性质可定义量纲一的相干函数为（6.1.26）且有(6.1.27))()()()(22yxxyyxSSS1)(02xy4.窄带过程、宽带过程和理想白噪声根据功率谱密度分布的不同频率范围，可将随机过程区分为窄带过程和宽带过程。窄带过程包含的频率成分集中在一个狭窄的频带上，功率谱密度函数具有尖峰特性，接近于简谐振动。随着的增大，其相关程度减小得较缓慢(图6.3a)。宽带过程包含的频率成分很丰富，分布在较宽的频带上，功率谱密度函数比较平坦，因此有高度的随机性。时间差稍大一些其相关程度迅速降低(图6.3b)。极端的宽带过程为理想白噪声，其功率谱密度函数为常数，而具有无限宽频带。(6.1.28))()(0SSx图6.3(a)窄带过程(b)宽带过程代入式（6.1.14），得到的能量为无限大，因此理想白噪声实际上并不存在。工程中的实际随机过程频带宽度总是有限的。若在足够宽的有限频带上功率谱密度分布比较均匀，则可将此过程近似地当作理想白噪声以简化计算。将（6.1.28）代入式（6.1.12）计算理想白噪声的自相关函数，得到（6.1.29）可以证明上式括号内的积分式恰好等于狄拉克分布函数。为此先将作傅里叶变换，得到（6.1.30）deSRix21)(0)()(1)(dei然后对1进行逆变换，得到（6.1.31）则式（6.1.29）表示的自相关函数可用
函数表示为（6.1.32）因此对于理想白噪声，即使相隔极小的时差，彼此已不再相关。dei21)()()(0SRx5．概率密度函数(1)一维概率密度函数一个平稳随机过程X(t)，当时间t为给定值时就成为随机变量，利用各样本函数的集合计算此随机变量不大于某个特定值x的概率，记作)(txk])([xtXPr当x值变化时可定义函数称为概率分布函数，如图6.4a所示。P(x)为单调升函数，具有下列性质（6.1.34）(6.1.33)])([)(xtXPxPr1)(,1)(0,0)(PxPP定义一维概率密度函数为（6.1.35）X(t)的值在和之间的概率可用概率密度函数表示为（图6.4b）（6.1.36）dtxdPxxPxxPxpx)()()(lim)(02x1xdxxpxxxPxxr)()(2121图6.4概率与概率密度函数则概率分布函数也可定义为（6.1.37）概率密度函数具有下列性质（6.1.38）dxxpxPx)()(1)(,0)(lim,0)(dxxpxpxPx前面定义的均值可用概率密度函数p(x)表示为（6.1.39）即随机变量X(t)的一次矩，其几何意义为p(x)曲线与x轴所围面积形心的x坐标(图6.4b),前面定义的均方值为X(t)的二次矩，（6.1.40）xdxxxpxEx)(][2xdxxpxx)(22前面定义的方差为X(t)相对于均值的二次矩，即二次中心矩，（6.1.41）2222)()(xxxxdxxpx(2)联合概率密度函数设有两个随机过程X(t)和Y(t)，在给定时刻t构成两个随机变量。它们同时满足和的概率称为联合概率分布函数，记作P(x,y)，(6.1.42)xtX)(ytY)(])(,)([ytYxtXPr])(,)([),(ytYxtXPyxPr也可定义联合概率密度函数，使满足(6.1.43)和同时成立的概率为(6.1.44)可用曲面所围成的一部分体积表示(图6.5)。dydxyxpyxPyx),(),(21)(xtXx21)(ytYydydxyxpyyyxxxPyyxxr),(),(21212121图6.5联合概率密度函数联合概率密度函数有以下性质(6.1.45)0),(yxp1),(dxdyyxpdyyxpxp),()(dx