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輕鬆學統計（1）作者：張忠樸1.刻版印象現代人其實離不開統計，但是現代人卻又普遍有『統計很難學』的刻版印象，所以在學校上統計課時，學生翹課或上課打瞌睡就成了思空見慣的現象，而相對的老師也就只好搬出活當、死當來以儆效尤，這種怨憎會的場景真的是學統計的宿命嗎？曾經也被統計公式搞的七暈八素，曾經也在統計課堂中無聊入眠，但是沒想到自己居然會成為教統計的老師，因此我一直希望自己的學生不要重入自己當年的惡夢，我立志要讓學生輕鬆學統計。但是如果他們已有統計難學的刻版印象，那該如何先讓他們放輕鬆呢？第一招當然是要打破心結，因此統計的第一節課需要先發制人，先問學生一個問題：『統計難學嗎？』學生幾乎都異口同聲的哀叫『難！』我沈默以對，讓他們遲疑30秒之後再問：『有沒有聽過常態分配？』學生們幾乎都會略為安心地說『有！』我微笑以對，在他們安心30秒之後再問：『請問是先有常態分配，所以人長的不高不矮，還是先有身高的事實再有常態分配？』同學一陣交頭接耳之後，幾乎全數舉手贊成是先有身高的事實，再有常態分配。既然這是大家的共識，當然要乘勝突破他們的心防，和顏悅色的告訴大家：『既然統計學是事實在先，理論在後，那麼我們何苦要自己嚇自已，認為統計很難呢？』當大家默默點頭之後，就可以繼續向他們挑戰：『既然統計是前人將事實歸納出的結論，那麼讓我們也一起重新走過這段尋幽訪勝的趣味古道好不好？』歡呼聲中，我們開始了尋幽訪勝之旅。～2.尋幽訪勝尋幽訪勝的第一個問題是：『統計必備的原料是什麼？』幾乎立刻會有人想到『統計的原料是數據』，這當然是正確的答案，在興奮之餘再向他們挑戰，『請問是不是有數據就是統計？』『老師，那可不見得！』『那你認為除了數據，還需要加上什麼才可能讓統計更完整呢？』一陣沈思之後，有人提出『要將數據拿來計算』『Good！但是要算出什麼東西呢？』『譬如要算出平均身高』『對！平均身高是最重要的統計量之一，一般用表示，是代表集中趨勢的統計量』這就上路了，這群學生已漸漸會尋幽訪勝了，『除了計算平均值，這些數據還可以算出那些名堂？』『還可以算出差距』『請問你說的差距是什麼意思？』『就是指最高身高減最低身高嘛！』『OK!你所謂的差距就是統計學上所說的全距，一般用R來表示，R是代表離中趨勢的一種統計量』這群學生現在已能慢慢體會到推理的自信與學習的樂趣了，這時不妨給他們一點更Tough的問題：『那麼請問是不是有了這些計算（Ｒ等）就算是統計呢？』學生由興奮陷入沈思，沈思之後有些學生開始輕輕的搖頭，『那你們是不是認為原始數據加上計算並不完全等於統計呢？』他們如釋重負地拼命點頭，但是為了幫他們更趨於嚴謹而成熟，這時候不但不能丟救生圈給他們，反而要用鐵石心腸來逼問──『那麼統計倒底是什麼「碗糕」？』3.柳暗花明雖然他們還不能立即回答這個難題，但是他們至少已明白統計中少不了數據與計算，而那仍然不足的部分倒底是什麼呢？換言之，計算若不是統計的終點，那麼統計最終的目的倒底是什麼呢？慢慢地有學生會說：『統計的目的是要讓我們得到有意義的情報！』『對！但是什麼才是有意義的情報呢？』有位同學在經過連番追問後，若有所悟，他突然反守為攻，『請問老師能不能舉幾個有關情報的例子，這樣我們就可以回答什麼是有意義的情報了。』真是孺子可教，既然問的合情合理，那就先舉一個例子讓他們揣摩。『例１：請問“拉力強度很好”算不算是有意義的情報？』『老師，不算！』『為什麼不算？』『老師，因為“拉力強度很好”太籠統了，它根本沒有任何數據可作判斷的參考。』既然初生之犢不畏『唬』，那就只有加一點料，再來試試他們。『例2：好，那麼我們加上數據“拉力強度平均為5kg/cm2”，請問這算不算有意義的情報？』『老師，這樣的情報雖然有意義，但是仍不理想。』『為什麼？』『因為只有提到平均值是5kg/cm2，但是我們並不知道這是0與10的平均，還是4.99與5.01的平均，所以很難單憑平均值來判斷此一情報是否有意義。』這些學生真是成材，他們的思緒已愈來愈嚴謹了，居然已能從推理中體會到集中趨勢並無法完全代表統計量的事實，不僨不啟古有明訓，所以只有再為他們指點迷津。『例3：你們的考慮沒錯，既然如此，那麼我們就再加上範圍“大多數產品的拉力強度在5kg±0.6kg之內”，這樣你們滿意了嗎？』『不滿意！』學生齊哄，『為什麼？』『因為大多數太不明確了！』得天下英才而教之的喜樂這時一起湧現，這群學生真的太可愛了，『那我們把大多數更明確化一點好不好？』『好！』『例4：如果修改成“99.73%的產品拉力強度在5kg±0.6kg/cm2之內”，你們滿意嗎？』一些參與度較高的同學馬上表示滿意，但仍有一部分沒有表示意見，為了確認全班的認知程度，所以再一次改採主動，請全班同學從例1到例4中，要挑出一個他認為最有意義的情報，經過兩分鐘的表決，結果全班同學一致認為例4才是相對而言最有意義的情報。～4.水落石出經過這一連串的討論，需要幫學生將思緒重新整理一下，於是在黑板上先畫了下面這張圖：然後向學生解釋，這是一般生產系統簡單的示意圖，I代表Input也就是指原料，P代表Production也就是指加工，O代表Output也就是成品，接著我請大家想一下如果統計也是一個系統，那麼就統計而言上圖中的I、P、O分別代表什麼呢？有一位同學立刻自告奮勇的衝上黑板，在上圖的每一個框框下分別填上數據計算有意義的情報『等一下！』當他要衝回座位時我大叫一聲，一面把另一枝粉筆交給他，一面向他說：『謝謝您剛才的答案，這的確是很恰當的答案，但是可否請您再將您的答案作一點整合，能否試試看將“數據”、“計算”及“有意義的情報”整理成一個關係式？』這位同學考慮了一下，重新在黑板上寫了一個關係式。他一面寫、我一面替他高興，當他寫完後，我請他向全班同學解釋一下，他充滿自信地說：『這個公式的意思是說，數據經過計算後若能產生出有意義的情報，那就是統計。』不待我的邀請，全班同學已對他的解釋報以熱烈的掌聲，一面欣賞地看著他走回座位，一面向全班同學說『你們看，只要大家肯不斷地發揮創意、努力思考，我們就可以自己體會出統計的真諦，所以我們為什麼要怕統計呢？』『但是，下課之前最後我要請各位從大家例4中，歸納出有意義的情報應包括那些構成要素？』『老師，5kg代表集中趨勢』甲同學說『那±0.6kg應該是代表離中趨勢』乙同學接著說『但是，剩下的99.73%呢？』我反問『老師，那是指含蓋在5±0.6kg這個範圍之內的機率』『完全正確，所以希望各位同學能將剛才討論的例子一般化，其實就統計學而言，任何有意義的情報都有三個構成要素，分別是：1.集中趨勢（通常以作代表）2.離中趨勢（通常以作代表）3.被含蓋在特定範圍內的機率』為了加深同學的印象，所以下課之前才請他們翻開課本上的常態分配圖然後請問他們，『如果成年男子的身高平均值（）是167cm，標準差（）是8cm，那麼請問大約有多少成年男子的身高在159至175cm之間？』立刻有學生回答：『68.26%』『為什麼？』『因為159cm等於167-8，175cm等於167+8，所以，老師舉的例子正好是±1的範圍，而參考上圖，落在±1的機率正好是68.26%』『太好了，所以統計就是這麼簡單也這麼好玩對不對？』同學非常興奮地大聲說『對！』在興趣盎然中，正好下課鐘聲響起，看著他們快樂地走出教室，我知道他們已變成了一群喜愛統計的新朋友。輕鬆學統計（2）作者：張忠樸1.深入淺出上課鐘一響，這群統計學子已經就座，這個現象與上一節課的姍姍來遲成鮮明對比，他們似乎想用行動來說明他們已開始喜歡統計了。~為了驗証上一節的學習效果，先考考他們統計的定義是什麼？『統計就是數據透過計算產生出有意義的情報』。~版異口同聲的回應，真令人飽嚐得天下英才而教之的喜悅！『那麼有意義情報的構成要素是什麼呢？』~版權所有尋智專業顧問有限公司~『1.集中趨勢（通常以作代表）2.離中趨勢（通常以σ作代表）3.被含蓋在特定範圍內的機率』~版權所有尋智專業顧問有限公司~這麼正確而流暢的回答，令人一則以喜，一則以憂，喜的是他們學的實在真好，憂的是過分的熟練，會不會也是另一種形式的僵化呢？~版權所有尋智專業顧問有限公司~於是決定幫他們在熱忱與理想之間均衡一下，使他們在熟練中仍不失應變的彈性，於是反問他們『你們的答案完全正確，但是這樣的答案對於沒有學過統計的人有沒有幫助呢？換句話說，你所計算的與σ，如何才能讓沒學過統計的人一目瞭然呢?』~版權所有尋智專業顧問有限公司~大家彼此對看，熱忱的臉上慢慢多了一抹沈思，學而不思則罔真是必要的提醒，有些有學問的人卻沒有影響力，根本問題也許並非懷才不遇，而是掉入了孤芳自賞的陷阱，以致於他的學問不但不能用來服務人群，反倒讓他與許多局外人壁壘分明。因此真有必要幫這群學生將思緒拉出教室，讓他們多想一想如何運用統計知識，才能幫助更多沒有學過統計的人。~版權所有尋智專業顧問有限公司~思索中，有一位學生鼓起勇氣回答~版權所有尋智專業顧問有限公司~『老師，我們可不可以把那些情報(，σ)轉換成圖形？』『當然可以啊！但是為什麼要轉換成圖形呢？』『因為圖形比較容易一目瞭然啊！』~版權所有尋智專業顧問有限公司~『太好了，你這種想法與古早時統計大師構思直方圖(FrequencyHistogram)時的想法正好不謀而合。』~版權所有尋智專業顧問有限公司~然後用投影機打了一張直方圖的範例在螢幕上圖1：直方圖『請問對一般沒學過統計的人是與σ比較容易懂呢？還是直方圖比較容易懂呢？』『直方圖！』異口同聲的回答『對，那我們開始學直方圖好不好？』『好！』~2.走過從前傳統做直方圖之前要先斟酌(1)樣本數，然後依據樣本數來決定(2)分組數，然後再決定(3)每組之組距與組界，而後根據上述(1)(2)(3)來設計(4)次數分配表，最後再依據次數分配表來繪製(5)直方圖如果我們有一組數據如下：~版權所有尋智專業顧問有限公司~636064626364636266646062616562636663676463626563656162646361那麼依據上述(1)(2)(3)(4)的步驟，我們可以得到它的次數分配表~版權所有尋智專業顧問有限公司~組別下組界上組界組中值次數累積次數atorbelow59.5000159.5060.5060.0022260.5061.5061.0035361.5062.5062.00611462.5063.5063.00819563.5064.5064.00524664.5065.5065.00327765.5066.5066.00229866.5067.5067.00130above67.50=63.1σ=1.72906根據這張次數分配表，就可以得到圖(1)的直方圖。~版權所有尋智專業顧問有限公司~為了讓局外人明白統計量的意義，直方圖真是幫了大忙，但是相對的為了作直方圖，前輩們就必須研究分組法與下功夫作次數分配表，這都是很累人的事，所以其實不可小看深入淺出，因為它也是須要下一番功夫的。~版權所有尋智專業顧問有限公司~所幸在電腦普及後，如今借助電腦套裝軟體，上述(1)(2)(3)(4)那些繁瑣的程序都可以用電腦來代勞，而事半功倍地獲得直方圖。~版3.學以致用既然我們現在可以事半功倍的獲得直方圖，那麼我們就應該將省下的時間，更多花在應用上，換句話說我們不妨要多想一想：~版權所有尋智專業顧問有限公司~──直方圖的目的是什麼？──直方圖可能有那些基本模式？──每一種基本模式透露了那些重要的訊息？──如何運用直方圖來改善品質？『直方圖是目的嗎？』再一次用問題刺激學生去思想。『不是！』~『那你們認為直方圖的目的該是什麼？』~版『我並不確定，但是能不能與上一節課學過的常態分配圖作一些結合？』『很好啊！但是你想怎樣結合呢？』~『我想看一下每組數據所呈現的直方圖是否與標準常態分配的形式相吻合。』『如果吻合，那代表什麼意義呢？』~『如果吻合，那似乎証明這組數據是出自於一組近似常態分配的製程。』這樣的推理邏輯真令人激賞，但是若要打通任督二脈就必須狠心將他再逼到死角。~『好極了，但是如果直方圖與常態分配不吻合呢？』『如果不吻合....