第七章(1)系统函数与时域特性

第七章系统函数前面几章我们讨论了LTI系统时域分析和变换域分析的原理和方法,引出了系统函数的概念.LTI系统的系统函数一般为S或Z的有理分式的形式,它既与描述系统的微分或差分方程、框图有直接关系,也与系统的冲激响应或单位序列响应以及频率响应关系密切。因而系统函数在系统分析中有重要地位，不仅能根据系统函数分析系统响应的特性，也能按给定的要求通过系统函数求得系统的结构和参数，完成系统综合的任务。本章主要内容•1、系统函数与系统的时域特性的关系•2、系统的稳定性•3、信号流图•4、系统模拟一、系统函数的零点与极点对于连续系统niimjjmnnnmmmmpssbasasasbsbsbsbsAsBsH1101110111)()()()()(LTI系统的系统函数是复变量s)(H或z的有理分式，即)()()(ABH7.1系统函数与系统特性对于离散系统niimjjmnnnmmmmpzzbazazazbzbzbzbzAzBzH1101110111)()()()()(零点极点极点和零点的值可能是实数、虚数或复数。因为和的系数都是实数，所以若零、极点为虚数或复数，必共轭成对。AB*一阶实极（零）点；*一阶共轭虚极（零）点；*一阶共轭复极（零）点；*二阶和二阶以上的实、虚、复极（零）点。的极（零）点有以下几种类型：)(H二、系统函数与时域响应1、连续系统H(s)的极点，在s平面的位置下面讨论极点的位置与其所对应的响应（系统的自由响应、冲激响应、单位序列响应）形式。H虚轴左半开平面右半开平面jS平面左半开平面的极点：0p02,1jp单极点tAetttAetcos重极点tetAtjj或ttetAjtjjcos1,,2,1,0jr重极点虚轴上的极点：单极点0pjp2,1tAttAcosttAjj或tttAjjjcos1,,2,1,0jjS平面右半开平面的极点：tAetttAetcos0p02,1jp单极点r重极点响应随t的增大而增大。jS平面jS平面图7.1-1H(s)的极点与所对应的响应函数*H(s)在虚轴上的一阶极点对应的响应函数的幅度不随时间变化。由以上讨论可得如下结论：*H(s)在虚轴上的二阶及二阶以上的极点或右半开平面上的极点，其所对应的响应函数都随t的增长而增大。当t→∞时，响应趋于无限大。这样的系统是不稳定的。*H(s)在左半开平面的极点所对应的响应函数是衰减的。当t→∞时，响应趋近于零。结论：极点全部在左半开平面的系统（因果）是稳定的系统。2、离散系统H(z)的极点在z平面的位置)(kAak)()cos(kkAak单位圆外单位圆上单位圆内单极点1aap12,1aaepj重极点响应随k增大而衰减，k响应趋于零。单位圆内的极点Im[z]Re[z]01单位圆上的极点单极点1-1或p2,1jep)(kA)(1kAk或)()cos(kkAr重极点kkAjj或kkkAjjjcos1,,2,1,0jRe[z]01Im[z]如有重极点，其所对应的响应也随k的增加而增大。单位圆外的极点单极点1aap12,1aaepj)(kAak)()cos(kkAakRe[z]01Im[z]由以上讨论可得如下结论：H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列都是衰减的，当k趋于无限时，响应趋于零。极点全部在单位圆内的系统(因果）是稳定系统。H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应序列的幅度不随k变化。H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上极点或在单位圆外的极点，其所对应的响应序列都随k的增大而增大，当k趋于无限时，它们都趋近于无限大。这样的系统是不稳定的。三、系统函数与频率响应由线性连续系统的频域分析可知，系统冲激响应h(t)的傅里叶变换H(jω)表示系统的频率特性，称为系统的频率响应。下面讨论H(jω)与系统函数H(s)的关系。根据傅里叶变换的定义和单边拉普拉斯变换的定义，若h(t)为因果信号，则有0)()()(dtethdtethjHtjtjdtethsHst)()(H(s)的收敛域包含jω轴，意味着H(s)的极点全部在左半平面。在这种情况下，H(s)对应的系统称为稳定系统。根据以上讨论，可以得到以下结论：若因果系统的系统函数H(s)的极点全部在左半平面，则jssHjH)()(niimiimjspjsjbsHjH11)()()()(设bm＞0，并且令iijiijiieApjeBsj则式又可以表示为)(11)()(iiijnijimijimeHeAeBbjH式中：nmmAAABBBbH2121)()()()(2121nm图H(s)零、极点的矢量表示及差矢量表示ojpisiAiBiiij例1已知二阶线性连续系统的系统函数为2022)(ssssH式中，α＞0,ω0＞0,ω0＞α。粗略画出系统的幅频和相频特性曲线。解H(s)有一个零点s1=α;有两个极点，分别为jjp2202,1式中，。于是H(s)又可表示为22021)(pspsssH由于H(s)的极点p1和p2都在左半平面，因此，系统的频率特性为))(()()(21pjpjjsHjHjs令则H(jω)又可表示为,,,221121pjeApjeAjBejjj)()(2121)()(2121jjjjjeHeAABeAeABejH幅频特性和相频特性分别为21)(AABH21)((a)H(s)零、极点的矢量和差矢量表示；(b)系统的幅频特性和相频特性本节小结•1、系统的零极点的概念•2、系统函数与系统的特性•3、系统函数与频率响应