3.2 中值定理(1-24)

§3.2中值定理1º局部极值点的必要条件问题：)()()(xfxxfxf研究函数y=f(x)的增量与x的关系,给出一个等号成立的简单表达式局部极值点:设y=f(x),如果存在x0的邻域N(x0),使对任意的,)(0xNx有))()()()(xfxfxfxf00（或则称f(x)在x0处有极小值(或极大值),极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点f(x)的极小值点(或极大值点).而x0称为0xyox说明:(1)几何解释:是极大值点0xoxy0x0x是极小值点(2)一个函数可能有多个极值,而且极大值并不一定大于极小值oxy)(xfy1x2x3x4x5x6x问题:极值点是什么样的点?定理(费马定理)若x0是y=f(x)的极值点,则当)('0xf存在时,必有00)('xf证明不妨设x0是极小值点,使)()()(00xNxxfxf)()()(000xNxxfxf,)()(lim)('00000xxxfxfxfxx)()(lim)('00000xxxfxfxfxx,)(')()(0''00xfxfxf由于)(')(')('000000xfxfxf及则根据定义,存在N(x0)说明:(1)定理说明:在存在导数的极值点处,必有水平切线(2)我们把使的点x0称为驻点(稳定点)00)('xf(3)驻点未必是极值点(反例:处),003xxy不可微点也可能是极值点(反例:处)00xxy,(4)临界点:驻点和不可微点统称为临界点定理(局部极值点的必要条件)注意:临界点不一定是极值点函数y=f(x)的极值点必定是它的驻点或不可微点20中值定理定理(罗尔定理)设y=f(x)∈C[a,b],在(a,b)上可导,且f(a)=f(b),则必存在,)b,(a使0)('f证明因为f(x)∈C[a,b],(1)若m=M,则f(x)≡C,,b,ax)(可任取,b,a)(有0)('f(2)若mM,则必有其一属于(a,b),21,)(的极小值点是xf101)('f),(ba1不妨设费马定理知据1212,a,b,fm,fM[]()()()()使最小值最大值据最值定理知,存在说明:(1)几何意义:ab21Cxyo)(xfy)(af)(bf(2)罗尔定理中的三个条件:(a)f(x)在[a,b]上连续;(b)(a,b)上可导;(c)f(a)=f(b)一般不可松动反例:],[)(x,xxf11(3)定理指出了导函数的零点问题)('xf例010nn22xcxcxcc求证:方程在(0,1)内至少有一实根,ncccn01210设满足c,,ccn10,解分析:构造一函数F(x),使,xcxcxccxF'nn2210)(此时F(x)∈C(R)而且F(0)=F(1)而且F(0)=F(1).根据罗尔定理,存在),(10使0F')(即010nn22cccc,)(121012nnxncxcxcxF设例设函数f(x)可导,证明:在f(x)的两个相异零点所构成的区间内,至少有的一个零点)(')(xfxf证明设x1,x2是f(x)的两个零点,且x1x2构造辅助函数,xexfxF)()(xxxexfxfexfexfxF'))(')(()(')()(此时有而且,F(x)在[x1,x2]上连续,(x1,x2)上可导,,xFexfxFx)()()(21101根据罗尔定理,存在使xx),(210F')(即0eff))(')((0)(')(ff罗尔定理的几何意义也一条切线平行于AB弦ab12CxyoAB)(af)(bf)(xfy可以解释为:至少存在问题:去掉f(a)=f(b)的条件,此结论是否仍然成立?xoy)(xfyabAB1C2D左图显示此结论是正确的定理(拉格朗日中值定理)如果y=f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导,则至少存在一使,b,a)(abafbf'f)()()((AB弦的斜率)即)())(()()(b,aab'fafbf证明0abafbffabafbf'f)()()(')()()(构造辅助函数xabafbfxfxF)()()()(则F(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导,而且)()()()(aFabbafabfbF根据罗尔定理,存在0)('),(Fba使即abafbf'f)()()(说明:(1)10,aba,ba)(),(10,ababafafbf)))(((')()((2)10,xxxfxfxxf))(')()(即有10,xxxfxfxxfy))(')()(解设,求满足拉格朗日中值公式θxexf)(例任取,x,Rx0则在[x,x+x]xexf)(上满足拉格朗日中值定理的条件所以,存在0θ1,使xeeexxxxxxeexx1xexx11ln说明:一般地,ξ(或θ)与a,b有关拉格朗日中值公式的应用例(证不等式)证明:ba,aababbab0ln解,abablnlnlnxxfln)(取在[a,b]上利用拉格朗日中值定理,有ba,abab)(lnln1aababbablnln例设函数f(x)在[0,c]上可微,单调下降,)('xff(0)=0,证明:对于0≤a≤b≤a+b≤c,有f(a+b)≤f(a)+f(b)解当a=0时,不等式显然成立下设a0,此时f(a+b)≤f(a)+f(b)f(a+b)f(b)≤f(a))()()()(0fafbfbafafafabfbaf)()()()(0故对函数f(x)分别在[0,a],[b,a+b]上利用拉格朗日中值定理,分别使)(')()()(10xfafafaaf)(')()()()()(2xfabfbafbbabfbaf于是有单调减且由,xfxx2)('1)(')('21xfxfafafabfbaf)()()()(0即f(a+b)f(a)+f(b))()(ba,bx,a,x210存在又f(a)0,设f(x)在[a,+)上连续,在(a,+)上可导,例,kkxf)()('为常数且0证明:f(x)=0在内有唯一的实根))((kafa,a解希望在上利用零值定理])([kafa,a由f(a)0,故先证.kafaf0))((事实上,对函数f(x)在上利用拉格朗日中值定理,])([kafa,a))()((')())((akafafafkafaf使kafa,a))((存在))()((')())((kaffafkafaf在上利用零值定理知,])([kafa,a))((kafa,a上至少有一实根对任意,xx,,ax,x2211)(利用拉格朗日中值定理,)(21x,x存在有))('())((')()(001212kxf,xxfxfxf所以,f(x)在[a,+)上严格单调增,由此证得结论成立))('())(')((101kf,kfaf方程f(x)=0在为证唯一实根,我们证明f(x)在[a,+)上严格单调定理证明对任意,,],[000xxhxxx00()()'()()fxfxfxx)(')()(fxxxfxf00又当时,0xx,x0在[x0,x0+h]上利用拉格朗日中值定理,两边取极限,得0000xxxfxfxfxx)()(lim)('如果函数f(x)在[x0,x0+h](h0)上连续,在(x0,x0+h)上可导,且,Axfxx)('lim0则,)('Axf0)(')('000xfxf即xx0存在使)('limfxx0Axf)('00若曲线由参数方程)(tgx)(tfy(其中a≤t≤b)给出,则在曲线上,存在某点C(设其参数为ξ),在C处所作的切线与AB弦平行tfytgx)()(xoyBACCdxdyagbgafbf)()()()(A(g(a),f(a))、B(g(b),f(b)),如果设A、B点的坐标为即应有)()(')('b,a,gf定理(cauchy中值定理)如果(1)f(x),g(x)在[a,b]上连续;(2)f(x),g(x)在(a,b)内可导;,xg0)('对任意x(a,b),(3)则至少存在一ξ(a,b),使gfagbgafbf)(')(')()()()(证明gfagbgafbf)(')(')()()()(因为0)('))()(()('))()((fagbggafbf构造辅助函数:)())()(()())()(()(xfagbgxgafbfxF则F(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导,而且有)()()()()()(bFafbgagbfaF根据罗尔定理,存在ξ(a,b)使0)('F0)('))()(()('))()((fagbggafbfgfagbgafbf)(')(')()()()(注意:在定理的条件下0)()(agbg例若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a0),证明:在(a,b)内至少存在一点ξ,使)(')())()((fabafbf222成立解上式等价于fabafbf222)(')()(设,xxg2)(则由a0知,f(x),g(x)满足柯西中值定理的条件,fabafbf222)(')()(即)(')())()((fabafbf222存在ξ(a,b),使例设f(x)在[x1,x2]上可微,且x1x20,证明:存在ξ(x1,x2)使ffxxxfxxfx)(')()()(211221解原式ffxxxxfxxf)(')()()(12112211故取,xxG,xxfxF1)()()(由x1x20,可知F(x),G(x)在[x1,x2]上满足柯西中值定理条件存在ξ(x1,x2)使应用柯西中值定理,GFxGxGxFxF)(')(')()()()(1212ffxxxxfxxf22121122111)()(')()()(')(ff结论成立