导数与函数的极值、最值.

双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点第三节导数与函数的极值、最值双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点一、函数的极值1．定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近所有的点，都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值和极小值统称为极值．2．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤：(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根x0；(3)检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0的左右的符号；“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值(注：导数为零的点未必是极值点)．双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点3．特别提醒：(1)x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，而不仅是f′(x0)＝0，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要而不充分条件．(2)给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f′(x0)＝0，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，这一点一定要切记！(3)在求函数极值的步骤中，第二步，蕴含着比较根的大小问题，第三步，通常总结成表．二、函数的最大值和最小值1．定义：函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”．双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值(极大值或极小值)；②将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值(注：第一步中其实不必求出极值，只要找到导数为零点处的函数值即可；闭区间上的连续函数必有最值)．3．特别提醒：①利用导数研究函数的单调性与最值(极值)时，要注意列表！②要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题．双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点三、解决优化问题的基本思路双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点1．函数f(x)＝x3－3x2＋3x＋5的极值点的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：∵f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0对∀x∈R都成立，∴f(x)在R上是增函数，故无极值．答案：A双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点2．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：极值点在f′(x)的图象上应是f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标，且极小值点的左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方，故函数f(x)只有一个极小值点(图中B点)．答案：A双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点解析：由f′(x)＝3x2－6b＝0，得x＝±2b(b0)，∴02b1，∴0b12，选D.答案：D双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点4．函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值点是________．解析：f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0得，x1＝－2，x2＝2.当x＜－2时，f′(x)＞0，－2＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)在x＝－2处取得极大值．答案：－2双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点5．若函数f(x)＝x2＋ax＋1在x＝1处取极值，则a＝________.解析：∵f(x)在x＝1处取极值，∴f′(1)＝0.又f′(x)＝2xx＋1－x2＋ax＋12，∴f′(1)＝2×1×1＋1－1＋a1＋12＝0，即2×1×(1＋1)－(1＋a)＝0，故a＝3.答案：3双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点利用导数求函数极值、最值【例1】已知x＝3是f(x)＝x3－ax2－3x的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最小值和最大值．【思路点拨】利用x＝3是极值点进行求解．双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点【解】因f′(x)＝3x2－2ax－3，又∵x＝3是f(x)的极值点，∴f′(3)＝0即3·32－2a·3－3＝0，∴a＝4，∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3.令f′(x)＝0得x1＝－13，x2＝3.∵－13∉[1,4]，∴x＝3把区间[1,4]分为两部分，当x变化时f(x)、f′(x)的变化情况如下表双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点x[1,3)3(3,4]f′(x)－0＋f(x)单调递减极值单调递增∴当x＝3时，f(x)有极小值且极小值为f(3)＝－18.又由于f(1)＝－6，f(4)＝－12，因此函数f(x)在[1,4]上的最小值是－18，最大值是－6.双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点【变式探究】1.求函数f(x)＝－13x3＋2ax2－3a2x＋1，(0＜a＜1)的极大值．解：因f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，且0＜a＜1，当f′(x)＞0时，得a＜x＜3a；当f′(x)＜0时得x＜a或x＞3a.∴f(x)的单调递增区间为(a,3a)，单调递减区间为(－∞，a)和(3a，＋∞)．故当x＝3a时，f(x)有极大值，其极大值为f(3a)＝1.双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点方法技巧：（1）熟悉函数极值点叙述中的隐含条件.如“f(x)在x=a时取得极大值b”即“f′(a)=0，f(a)=b”；“x=a是函数f(x)的极值点”也即“f′(a)=0”；“x=a是f(x)在［m，n］上的极值点，”也即“f′(a)=0，或x=a是方程f′(x)=0在［m，n］上的一个根”等.（2）求f′(x)=0的根，列表呈现xf′(x)的符号与函数f(x)的函数值变化情况是求函数极值、最值的基本步骤，也是关键步骤；当方程f′(x)=0的根中含有字母或给定区间端点处含有字母时，求解的基本步骤不变，只是增添了讨论或运算量增大了.双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点可化为讨论一元二次方程解的问题【例2】已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．【思路点拨】求函数的单调区间和极值，都应从研究函数的导函数入手．双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点【解】(1)因f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，所以f′(x)＝3x2－12x＋3，∴f′(x)＝3(x－2＋3)(x－2－3)．当f′(x)0时，x2－3，或x2＋3；当f′(x)0时，2－3x2＋3.∴f(x)的单调增区间是(－∞，2－3)，(2＋3，＋∞)，单调减区间是(2－3，2＋3)．双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点(2)因f(x)的极值点就是方程f′(x)＝0的根，所以函数f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，即方程f′(x)＝0在(2,3)中至少有一个根，也就是导函数f′(x)在(2,3)上至少有一个零点．又∵f′(x)＝3x2－6ax＋3是二次函数，∴①Δ＝36a2－360，2a3，f′20，f′30，或②f′(2)·f′(3)0，双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点∴①a1或a－1，2a3，a－2，a159或(5－4a)(10－6a)0.因不等式组①无解，∴a的取值范围为(54，53)．双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点【变式探究】2.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)在区间(－1,1)上有极值，求a的取值范围．双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点解：函数f(x)在区间(－1,1)上有极值，等价于导函数f′(x)在(－1,1)有实根．因f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)，令f′(x)＝0得x1＝a，x2＝－a＋23.∴－1a1，a≠－a＋23，或－1－a＋231，a≠－a＋23，即－1a1，a≠－12，或－5a1，a≠－12.∴a的取值范围是(－5，－12)∪(－12，1)．双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点方法技巧：函数的导函数是二次函数时，函数的单调性，极值问题，常化为二次函数的根的讨论问题，如“函数有无极值或有极值时应满足的条件”化为“二次函数有无实根或有实根时应满足的条件”；也有化为“二次函数的根的分布问题”.解题时应注意，当导函数的判别式等于零时，导函数虽然有根，但导函数在除该点外的其他点函数值是同号的，则函数在该点处仍无极值.双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点导数与函数的最值【例3】(2011年福建模拟)设函数f(x)＝(1＋x)2－ln(1＋x)2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若当x∈[1e－1，e－1]时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围；(3)若关于x的方程f(x)＝x2＋x＋a在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点【思路点拨】(1)求f′(x)；(2)转化为求f(x)在[－1，e－1]的最大值；(3)转化为f(x)－x2－x＝a恰有两根问题求解．【解】依题意知x≠－1，又因为f(x)＝(1＋x)2－ln(1＋x)2，所以f′(x)＝2(1＋x)－21＋x.(1)令f′(x)＝2(1＋x)－21＋x＝2[(1＋x)－11＋x]0⇒x2＋2x1＋x0.⇒－2x－1或x0，所以f(x)的单调增区间为(－2，－1)(0，＋∞)；令f′(x)＝2(1＋x)－21＋x＝2[(1＋x)－11＋x]0⇒x2＋2x1＋x0.⇒－1x0或x－2，所以f(x)的单调减区间(－1,0)(－∞，－2)．双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点(2)令f′(x)＝0⇒(1＋x)2＝1⇒x＝0或x＝－2(舍)，由(1)知，f(x)连续，∵f(1e－1)＝1e2＋2，f(0)＝1，f(e－1)＝e2－2，所以，当x∈[1e－1，e－1]时，f(x)的最大值为e2－2.因此可得：f(x)m恒成立时，me2－2.双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点(3)原题可转化为：方程a＝(1＋x)－ln(1＋x)2在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根．令g(x)＝(1＋x)－ln(1＋x)2，则g′(x)＝1－21＋x，令g′(x)＝0，解得：x＝1，当x∈(0,1)时，g′(x)0，∴g(x)在(0,1)单调递减，当x∈(1,2)时，g′(x)0，∴g(x)在(1,2)单调递增双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点∵g(x)在x＝0和x＝2点处连续，又∵g(0)＝1，g(1)＝2－ln4，g(2)＝3－ln9，且2－ln43－ln91，∴g(x)的最大值是1，g(x)的最小值是2－ln4.所以在区间[0,2]上原方程恰有两个相异的实根时实数a的取值范围是：2－ln4a≤3－ln9.双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点【变式探究】3.设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．(1)求a、b的值；(2)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围．解：(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b，因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，则有f′(1)＝0，f′(2)＝0，即6＋6a＋3b＝0，24＋12a＋3b＝0.解得a＝－3，b＝4.双基巩固典型例题易错辨析提升训练知识要点(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．当x∈(0,1)时，f′(x)0；当x∈(1,2)时，f′