1.3.2利用导数研究函数的极值

3.3.2利用导数研究函数的极值一、复习与引入:上节课,我们讲了利用函数的导数来研究函数y=f(x)的单调性这个问题.其基本的步骤为:①求函数的定义域;②求函数的导数f’(x);③解不等式f’(x)0得f(x)的单调递增区间;解不等式f’(x)0得f(x)的单调递减区间.函数在x=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。右图为函数y=2x3－6x2+7的图象,从图象我们可以看出下面的结论:x2y0二、新课——函数的极值:一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是对应的函数值.(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.请注意以下几点:(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念.oaX1X2X3X4baxy)(4xf)(1xf(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)f(x1).(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.在上节课中,我们是利用函数的导数来研究函数的单调性的.下面我们利用函数的导数来研究函数的极值问题.由上图可以看出,在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有f’(x)=0.但反过来不一定.如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小.假设x0使f’(x)=0.那么在什么情况下x0是f(x)的极值点呢？oaX00bxy0)(0xf0)(xf0)(xf如上图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0).因此,x0的左侧附近f(x)只能是增函数,即f’(x)0;x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即f’(x)0.oaX0bxy0)(0xf0)(xf0)(xf同理,如上图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数,即f’(x)0;在x0的右侧附近只能是增函数,即f’(x)0.从而我们得出结论:若x0满足f’(x)=0,且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果f’(x)在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果f’(x)在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:(1)如果在x0附近的左侧f’(x)0,右侧f’(x)0,那么,f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f’(x)0,右侧f’(x)0,那么,f(x0)是极小值.如何求函数的最大（小）值呢？假设y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点取得。由于可导函数在区间(a，b)内的极值只可能在使f’(x)=0的点取得，因此把函数在区间端点的值与区间内使f’(x)=0的点的值作比较，最大者必为函数在[a，b]上的最大值，最小者必为最小值。求函数y=f(x)在[a，b]的最大（小）值步骤如下：（1）求函数f(x)在开区间(a，b)内所有使f’(x)=0的点；（2）计算函数f(x)在区间内使f’(x)=0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。课本第98页练习A第1题例1．已知函数y=x3－4x+4，（1）求函数的极值，并画出函数的大致图象；（2）求函数在区间[－3，4]上的最大值和最小值31解：（1）y’=(x3－4x+4)’=x2－4=(x+2)(x－2)31令y’=0，解得x1=－2，x2=2x－2(－2,2)2y’+0－0+y↗极大值↘极小值↗当x变化时，y’，y的变化情况如下表:,22,28343∴当x=－2时，y有极大值且y极大值=328当x=2时，y有极小值且y极小值=－34山回路转不见君下一句是什么？最佳答案：山回路转不见君，雪上空留马行处。出自：白雪歌送武判官归京朝代：唐代作者：岑参原文：北风卷地白草折，胡天八月即飞雪。忽如一夜春风来，千树万树梨花开。散入珠帘湿罗幕，狐裘不暖锦衾薄。将军角弓不得控，都护铁衣冷难着。瀚海阑干百丈冰，愁云惨淡万里凝。中军置酒饮归客，胡琴琵琶与羌笛。纷纷暮雪下辕门，风掣红旗冻不翻。轮台东门送君去，去时雪满天山路。山回路转不见君，雪上空留马行处。译文北风席卷大地把白草吹折，胡地天气八月就纷扬落雪。忽然间宛如一夜春风吹来，好像是千树万树梨花盛开。雪花散入珠帘打湿了罗幕，狐裘穿不暖锦被也嫌单薄。将军都护手冻得拉不开弓，铁甲冰冷得让人难以穿着。沙漠结冰百丈纵横有裂纹，万里长空凝聚着惨淡愁云。主帅帐中摆酒为归客饯行，胡琴琵琶羌笛合奏来助兴。傍晚辕门前大雪落个不停，红旗冻僵了风也无法牵引。轮台东门外欢送你回京去，你去时大雪盖满了天山路。山路迂回曲折已看不见你，雪上只留下一行马蹄印迹。（2）f(－3)=7，f(4)=9=，31283与极值点的函数值比较得到该函数在区间[－3，4]上最大值是9，最小值是－3134987654321-3-2-143210yx课本第98页练习A第2题例2．求y=(x2－1)3+1的极值.解：y’=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2令y’=0解得x1=－1，x2=0，x3=1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表:xx(－∞,－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,+∞)y’－0－0+0+y↘无极值↘极小值0↗无极值↗1-1fx=x2-13+1xOy∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0例3．求函数y=x4－2x2+5在区间[－2，2]上的最大值与最小值解：先求导数，得y’=4x3－4x,令y’=0即4x3－4x=0，解得x1=－1，x2=0，x3=1.导数y’的正负以及f(－2)，f(2)如下表：x－2(－2,－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2y’－0＋0－0＋y13↘4↗5↘4↗13从上表知:当x=±2时，函数有最大值13，当x=±1时，函数有最小值4课本第98页练习B第1题课本第101页习题3-3A第4，5题例4．已知,∈(0,+∞).是否存在实数,使f(x)同时满足下列两个条件：（1）f(x)在(0，1)上是减函数，在[1，+∞)上是增函数；（2）f(x)的最小值是1，若存在，求出a,b，若不存在，说明理由.23()logxaxbfxx解：设g(x)=xbaxx2∵f(x)在(0，1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数∴g(x)在(0，1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数.所以3)1(0)1('gg即3101bab解得11ba经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.练习题1．函数y=1+3x－x3有()(A)极小值－1，极大值1(B)极小值－2，极大值3(C)极小值－2，极大值2(D)极小值－1，极大值3D2．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是()(A)极大值点x=－1(B)极大值点x=0(C)极小值点x=0(D)极小值点x=1C3．函数f(x)=x＋的极值情况是()(A)当x=1时取极小值2，但无极大值(B)当x=－1时取极大值－2，但无极小值(C)当x=－1时取极小值－2，当x=1时取极大值2(D)当x=－1时取极大值－2，当x=1时取极小值21xD4．若函数y=x3+ax2＋bx＋27在x=－3时有极大值，在x=1时有极小值，则a=；b=.3－95．函数y=－3＋48x－x3的极大值是,极小值是．y|x=4=125y|x=－4=－1316．函数y=，当x=时取得极大值为；当x=时取得极小值为.21xx00247．已知函数f(x)＝x3+ax2+bx＋a2在x＝1处有极值为10，求a，b的值．a=4，b=－11