1数列基础知识点和方法归纳1.数列的通项求数列通项公式的常用方法:(1)观察与归纳法:先观察哪些因素随项数n的变化而变化,哪些因素不变:分析符号、数字、字母与项数n在变化过程中的联系,初步归纳公式。(2)公式法:等差数列与等比数列。(3)利用nS与na的关系求na:11,(1),(2)nnnSnaSSn2.等差数列的定义与性质定义:1nnaad(d为常数),通项:11naand()manmd等差中项:xAy,,成等差数列2Axy前n项和11122nnaannnSnad性质:na是等差数列(1)若mnpq,则mnpqaaaa;(2)数列12212,,nnnaaa仍为等差数列,232nnnnnSSSSS,,……仍为等差数列,公差为dn2;(3)若三个成等差数列,可设为adaad,,nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值;或者求出na中的正、负分界项,即:当100ad,,解不等式组100nnaa可得nS达到最大值时的n值.当100ad,,由100nnaa可得nS达到最小值时的n值..2(3){}nka也成等差数列;(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.(5)1211221213,,mmmmmmmaaaaaaaaa仍成等差数列.(8)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和;3.等比数列的定义与性质定义:1nnaqa(q为常数,0q),11nnaaq.nmmaq等比中项:xGy、、成等比数列2Gxy,或Gxy.前n项和:111111(1)(1)(1)(1)(1)1111nnnnnaqnaqSaaaaqaqqqqqqqq(要注意!)性质:na是等比数列(1)若mnpq,则mnpqaaaa··(2)232nnnnnSSSSS,,……仍为等比数列,公比为nq.注意:由nS求na时应注意什么?1n时,11aS;2n时,1nnnaSS.(3){||}na、{}nka成等比数列;{}{}nnab、成等比数列{}nnab成等比数列.(4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.(5)1211,,mkkkmaaaaaa成等比数列.(6)数列12212,,nnnaaa仍为等比数列,3(7)pqmnpqmnbbbb;22mpqmpqbbbmnmnmnnmSSqSSqS.(8)等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负),等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。.(9)等差数列与等比数列的联系:各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列4.求数列前n项和的常用方法(1)裂项法把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项.如:na是公差为d的等差数列,求111nkkkaa解:由11111110kkkkkkdaaaaddaa·∴11111223111111111111nnkkkkkknnaadaadaaaaaa……11111ndaa[练习]求和:111112123123n…………121nnaSn…………,(2)错位相减法若na为等差数列,nb为等比数列,求数列nnab(差比数列)前n项和,可由nnSqS,求nS,其中q为nb的公比.如:2311234nnSxxxnx……①23412341nnnxSxxxxnxnx·……②①—②2111nnnxSxxxnx……1x时,2111nnnxnxSxx,1x时,11232nnnSn……(3)倒序相加法把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.121121nnnnnnSaaaaSaaaa…………相加12112nnnnSaaaaaa……