数学培优竞赛新方法(九年级)-第13讲-旋转变换

第13讲旋转变换知识纵横在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，旋转的角度叫旋转角。旋转变换不改变图形的形状和大小，通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度，旋转变换前后的图形有下列性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等（2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角（3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心。例题求解【例1】如图，在ABCRt中，已知50,90BC,点D在边BC上，BD=2CD,把ABC绕着点D逆时针旋转m（0m180）度后，如果点B恰好落在初始ABCRt的边上，那么m=。(2011上海市中考题)思路点拨因B点所落得边未确定，故需分类讨论。【例2】如图，P是等边ABC内部一点，CPABPCAPB,,的大小之比是5:6:7，则PB.PA.PC为边的三角形的三个角的大小（从小到大）之比是（）A2：3：4B3：4：C4：5：6D不确定(全国初中数学竞赛题)思路点拨由于PA.PB,PC没有构成三角形，所以需要作辅助线构造以它们为边的三角形，不妨实施旋转变换。【例3】点B,C,E在同一直线上，点A,D在直线CE的同侧，AB=AC,EC=ED,CEDBAC,直线AE,BD交于点F，（1）如图，若AFBBAC则,60_____________;如图，若AFBBAC则,90__________________（2）如图，若AFBBAC则,___________(用含的式子表示)（3）将图中的ABC绕点C旋转（点F不与点A,B重合），得图④或⑤，在图④中，与AFB的数量关系是_________;在图⑤中，与AFB的数量关系是__________请你任选其中一个结论证明。（武汉市中考题）思路点拨从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：ABC~BCDEDC,~ACE,这是解本题的关键。【例4】如图，在ABCRt中，AB=AC=2，90BAC,将直角三角板EPF的直角顶点P放在线段BC的中点上，以点P为旋转中心，转动三角板并使三角板的两直角边PE,PF分别与AC,AB相交于点N,M,链接MN,AP,交于点D.(1)求证：PN=PM(2)设线段AM的长为x，PMN的面积为y，求xy与的函数关系式。(3)当三角板旋转到54AMDM时，求AM的长。思路点拨对于（1），从探寻BPM与APN的关系入手；对于（2），;AMNANPMPMNSSS四边形对于（3），可证明PCPMCNDMAMDM【例5】已知ABCRt中，AB=AC,在ADERt中，AD=DE，链接EC,取EC中点M，连接DM和BM.（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图。求证：BM=DM且BMDM（2）如图中的ADE绕点A逆时针转小于45的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立请给予证明。（广州市中考题）分析对于（2），由（1）可猜想BM,DM之间关系，由中点可从以下方面联想与探索；（1）构造中位线，取AC,AE中点F,G，连DG.GM.BF.FM;(2)构造中心对称全等三角形，延长DM至F点，使MF=DM,连接BD,BF.正方形中的费马点【例6】如图，已知正方形ABCD内一动点E到A,B,C三点的距离之和的最小值为62，求此正方形的边长。（广东省竞赛题）分析本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时E点的位置，通过旋转变换，把EA,EB,EC连接起来。学力训练基础夯实1.如图，已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为。（上海市中考题）2.如图，P是正ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将PAC绕点A逆时针旋转后，得到ABP',则点P与P’之间的距离为，APB。（青岛市中考题）3.如图，直角梯形ABCD中，BCAD∥45,3,2,BCDBCADBCAB,将CD以点D为中心逆时针旋转90至ED，连接AE,则ADE的面积是___________(泰州市中考题)4.如图，将ABC绕点A顺时针方向旋转角度到ADE的位置，设BC与DE交于M点，连接AM，下列结论：①BC=DE;②BAE,③DMB，④MA平分DMC.其中正确的结论只有()A.①②B.①③C.②③④D.①③④5.如图，将ABC绕点)1,0(C旋转180得到CBA,,,设点，A的坐标为),(ba，则点A的坐标为（）（河南省中考题）),(baA)1.(baB)1,(baC)2,(baD6.如图，直线434xy与x轴、y轴分别交于A,B两点，把AOB绕点A顺时针旋转90后得到''BAO,则点'B的坐标是（）(丽水市中考题)A)4,3(B)5,4(C)4,7(D)3,7(7.已知：如图①，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F,OD到点E，使OF=2OA,OE=2OD,连接EF，将FOE绕点O逆时针旋转角得到''OEF(如图②)（1）探究''BFAE与的数量关系，并给予证明；（2）当'30AOE时，求证：为直角三角形（2011年南通市中考题）8.在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作ABEF交BD于点F,取FD得中点G,连接EG,CG,如图①，易证CGEGCGEG且.(1)将BEF绕点B逆时针旋转90，如图②，则线段CGEG和(2)有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想。(3)将BEF绕点B逆时针旋转180，如图③，则线段CGEG和有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想。并加以证明。（2011年黑龙江省中考题）9.在ABC和DEF中，AB=AC,DE=DF,EDFBAC,点NM,分别是CFBE,的中点。（1）若点A与点D重合，点上分别在ACABFE,,（如图①），则ANAM与的数量关系式,与MAN的数量关系是。(2)将图①中的)(DADEF绕点旋转（如图②），问（1）的两个结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。能力拓展10.如图，设正ABC的边长为a，将ABC绕它的中心旋转60得到对应的'''CBA,则',BA两点间的距离等于。(浙江省竞赛题)11.如图，四边形ABCD中，ABCEDC是由绕顶点C旋转40所得，顶点A恰好转到AB上一点E的位置，则21度。（第18届江苏省竞赛题）12.如图，在ABCRt中，90A,,8,6cmACcmAB以斜边BC上距离B点6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90至DEF,则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是2cm(黄冈市竞赛题)13.如图，在线段AE同侧作两个等边)120(,ACECDEABC,MP,分别是线段ADBE,的中点，则CPM是（）A钝角三角形B直角三角形C等边三角形D非等腰三角形（海南省竞赛题）14.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O,把边CDBA,分别绕点CB,同时逆时针旋转60，得四边形''BCDA,下列结论：①四边形''BCDA为菱形；②ABCDBCDASS正方形四边形21'';③线段'OD的长为13。其中正确的结论有（）A个0B个1C个2D个315.如图，在等腰ABCRt的斜边AB上取两点NM,,使45MCN,记.,nMNmAM则以线段nmx,,为边长的三角形的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D随nmx,,的变化而变化（安徽省竞赛题）16.如图，在等边ABC中，点D是边AC的中点，点P事线段DC上的动点（点P与点C不重合），连接BP.将ABP绕点P顺时针方向旋转角（1800），得到PBA11,连接1AA分别交射线PB,射线BB1于点FE,（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在________关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图2，设∠ABP=β．当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合．已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式．（2011年义乌市中考题）17.如图，已知凸五边形ABCDE中，EADECDBCAB,DBEABC2,求证：60ABC.(北京市竞赛题)综合创新18.在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点)0,3(A,)4,0(B.以点A为旋转中心，把ABO顺时针旋转，得ACD.记旋转角为，ABO为。（1）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标。（2）如图②，当旋转后满足xBC∥轴时，求与之间的数量关系；（3）当旋转后满足AOD时，求直线CD的解析式。（2011年天津市中考题）19.如图，在ABC中，60BAC,ACAB2,点P在ABC内，且3PA,5PB,2PC,求ABC的面积。（2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛）