7-格式粘性

1§7.格式粘性本节从精度的角度，分析对流方程的几个基本格式，即（1）中心差分格式11102nnnnjjjjuuuuatx++---+=DD（2）Lax格式11111202nnjjnnnjjjuuuuuatx-+++-+--+=DD或写成12111122122nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuxatxtx++-+----+D+=DDDD（3）迎风格式11111222nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuaatxx++-+----++=DDD或写成1111122122nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuaaxtxx++-+----++=DDDD以及2（4）Lax-Wendroff格式11111222122nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuaattxx++-+----++=DDDD经过改写，这些格式的差别仅在于右端项的系数，因此可以将它们统一写成1111122122nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuatxx++-+----++=DDD其中220xtaxatìïïïïïïïïïDïïïïDïï=íïïïïDïïïïïïïïDïïïî中心差分格式Lax格式迎风格式Lax-Wendroff格式7.1格式粘性取对流方程的光滑解(),uxt，则由泰勒展开，有()()231232311,,26nnnnnjjjjjuuuuxtuxttttttt+抖?=+D+D+D+¶抖L3()()232312344411,,26124nnnnnjjjjjnjuuuuxtuxtxxxxxxuxx±抖?=盌+D盌¶抖¶+D?¶L代入统一格式中的三个差分，分别得到()()123223,,1126nnnnnjjjjjuxtuxtuuutttttt+-抖?=+D+D+D?抖L()()31123,,126nnnnjjjjuxtuxtuuxxxx+--抖=+D+D?¶L()()()24112224,2,,112nnnnnjjjjjuxtuxtuxtuuxxxx++-+抖=+D+D抖L于是有迎风格式得到（省略求值的位置(),njxt）()()()22222221122uuuuttaxxtxtx禳禳禳镲镲镲抖抖镲镲镲+D+D++D=+D睚睚睚镲镲镲抖抖镲铪镲镲铪铪即()22222211,22uuuuattxtxxt抖抖+=-D+DD抖抖另一方面，由原方程4222222,uuuuuuaaatxtttxxttuuuaaaaxtxxx骣骣抖抖抖抖鼢珑鼢=-==-=-珑鼢珑鼢珑抖抖抖抖¶桫桫骣骣抖抖?鼢珑鼢=-=--=珑鼢珑鼢珑抖抖¶桫桫所以，最终得到()()222221,2uuuaattxtxx抖?+=-D+DD抖¶这一结果表明，对流方程的这些差分格式，都可以看成是另一个方程()22212uuuaattxx抖?+=-D抖¶的差分近似，并具有二阶时间精度和二阶空间精度。上面导出的新方程，称为这些差分格式的第一修正方程。由于它的形式与对流扩散方程22uuuatxx抖?+=抖¶相同，于是可以有下面的类比：在对流扩散方程中，右端项22ux¶¶是粘性流动控制方程组中粘性项的模型，代表了物理上的耗散机制。所以在第一修正方程中，()22212uatx¶-D¶这一项被称为格式粘性项，因为这一项是格式本身产生的“粘性”项。5在对流扩散方程中，粘性项的系数代表了物理粘性。所以，在第一修正方程中，格式粘性项的系数()212at-D称为格式粘性。在对流扩散方程中，物理粘性总是大于零的。即使作为无粘流的模型方程，也是取0=。所以在修正方程中，格式粘性也应该满足()2102at-D?。只有这样，差分格式才能正确反映物理事实，具有物理意义。经过计算，()22222212112121120atxtatxattaxaxìïï-Dïïïïïïï骣ïDD÷çï÷-çï÷çï÷çDD桫ïï-D=íï骣ïD÷ïç÷D-ïç÷çï÷çD桫ïïïïïïïïïïî中心差分格式Lax格式迎风格式Lax-Wendroff格式可有以下的讨论：中心差分格式的格式粘性是负的，物理意义上是不合理的。事实上，稳定性分析也表明，中心差分格式是不稳定的。因此后面将不再考虑它。6Lax格式和迎风格式，只有当1taxD£D时，格式粘性才是非负的。这个不等式就是CFL条件。稳定性分析的结果也指出，若满足CFL条件，这两个格式都是稳定的。在实际的粘性流（流体总是有粘性的）中，激波是有厚度的（尽管这个厚度很薄，与气体分子的平均自由程同量级）。而在无粘流这种数学物理模型中，激波是一个间断，没有厚度。按照这样的推理，使用带有格式粘性的差分格式，计算出的激波也应该是有厚度的。而且，由于格式粘性()212at-D比物理粘性大的多，所以，计算出的激波也会很厚，达到了与网格尺度xD同量级的程度。这种现象称为格式的抹光效应。Lax-Wendroff格式的格式粘性为零，或者说Lax-Wendroff格式不带有格式粘性。更准确地说，Lax-Wendroff格式不带有二阶格式粘性，它的格式粘性是更高阶（四阶）误差项的系数。但此时，其第一修正方程的右端，误差的主项应该是三阶空间导数项。而在物理上，三阶导数项代表的是色散机制。所以，用Lax-Wendroff格式（或其他二阶格式）进行计算，在激波附近会产生振荡，称为虚假振荡（伪振荡）。为了抑制这种非物理的现象，需要在二阶格式（也包括Lax-Wendroff格式）中人为地加入某种与格式粘性相当的项。7无粘激波物理激波抹光虚假振荡由此可见，如果流场中包含激波（或其他类型的间断），必须认真地处理数值格式中已有的格式粘性，或者需要仔细地添加人工粘性。没有这种粘性，计算结果在激波附近就会失真。但由于这种粘性是非物理的，所以又必须严格控制其大小，尽可能减少抹光效应的影响。87.3若干理论结果一维气体力学方程组Riemann问题的解析解（压力、速度、密度）都是空间自变量x的单调函数。所以对数值模拟这类问题的格式，理论上的研究很多都是考虑数值解能否也保持单调性。因为数值解一旦出现虚假振荡，其单调性也就被破坏了。作为理论上的讨论，这里只考虑单个方程（标量方程）的初值问题()()()0,0fuutxuxxìﶶïï+=ïï抖ïíïïïï=ïïî()0,tx-?+?将时间t看作参数，定义解的全变差为()uTVdxxu+?-?¶=¶ò如果将()TVu看成是时间t的函数，理论上有以下结论：若初值函数()x没有间断，则()TVu=常数。若初值函数()x有间断，则()()()0tTVTVuTuV=?。若初值函数()x是单调函数，则u作为x的函数也是单调的。设210tt吵，则()()21ttTuTVuV£。9上面最后一条意味着，解的全变差是随时间递减的。所以()2,uxt与()1,uxt相比，既不会产生新的极值，原有极值之间相差的幅度也不会进一步扩大。对于标量方程的初值问题，考虑一般形式的显式格式()111,,,,,,nnnnnnjjkjjjjkuHuuuuu+--++=LL及其线性化的特例（线性格式）1knnjsjsskucu++=-=å单调格式：如果函数H是其每一个自变量的单调函数，即：0jsHu+¶¶(),,1,0,1,,skk=--LL则称为单调格式。正型格式：对于线性格式，如果所有系数sc都是正的，则称为正型格式。对于线性格式，因为sjsHcu+¶=¶，所以正型格式显然是单调的。保单调格式：将nt和1nt+时刻的数值解分别记作nu和1nu+，假设nu是单调的，如果格式计算出来的1nu+也是单调的，即：从10“对所有的j，都有1nnjjuu+£（或1nnjjuu+³）”这一前提，可以推论出“对所有的j，都有111nnjjuu+++£（或111nnjjuu+++³）”这样的结论，则称为保单调格式。全变差：对于nt时刻的数值解nu，定义()1njnnjjTVuuu+?+=-?=-å称为nu的全变差。如果对所有的j，在区间()1122,jjxx-+上令()nnjuxu=为常数，就可将数值解nu从网格函数延拓为空间自变量x的阶梯函数()nux，而全变差()nTVu的几何意义就是这个阶梯函数所有台阶高度的总和。显然，如果数值解的单调性被破坏了，这个总和就要增加。于是很自然地，有TVD（全变差递减）格式：如果对所有的n，都有()()1nnTuuVTV+£则称为TVD格式。在某些情形，需要放宽对数值解全变差的要求，因此又有11TVB（全变差有界）格式：如果存在常数0M，使得：对所有的n，都有()nTVuM£，则称为TVB格式。对于上面定义的各种格式，有下列结果：单调格式一定是TVD格式。TVD格式一定是保单调格式。单调格式最多只能有一阶精度。保单调的线性格式一定是单调格式。最后一条表明，对于线性格式，单调、TVD、保单调这三者是等价的。再由第三条可知，线性TVD格式（也就是单调或保单调的线性格式）只能有一阶精度。所以，要构造二阶或更高阶精度的TVD格式，必须是非线性格式，也就是要将线性格式的系数推广成11,,,,,,nnnnnjkjjjjkuuuuu--++LL的函数。其中最常用的，是如下形式的非线性显式格式()()1122111nnnnnnjjjjjjjjuuCuuCuu++-+-+-=+---从形式上看，这个格式只涉及1j-、j、1j+三个网格点，是三点格式。事实上，如果用关于12jx±对称的两个网格点计算C±，即()121,nnjjjCCuu++++=，()121,nnjjjCCuu----=则上述格式确实是三点格式。12但是，还有这样一个结论：三点TVD格式（例如迎风格式）最多只能有一阶精度。因此，为了提高精度，改用关于12jx±对称的四个网格点来计算，()12112,,,nnnnjjjjjCCuuuu++-+++=，()12211,,,nnnnjjjjjCCuuuu----+-=那么格式就成为五点格式了。最后，作为补充，将上面的各条结论应用于正型格式，显然有作为线性格式，正型格式一定是单调的、TVD的、保单调的，但也只能有一阶精度。