7-概率假设检验

第七章假设检验6.1假设检验的基本概念和思想6.2单正态总体的假设检验6.3双正态总体均值差与方差比的假设检验，，，XXX~iidn17.1假设检验的基本概念和思想一、基本概念(一)两类问题1、参数假设检验总体分布已知,参数未知,由观测值x1,…,xn检验假设H0：=0；H1：≠02、非参数假设检验总体分布未知,由观测值x1,…,xn检验假设H0：F(x)=F0(x;);H1：F(x)≠F0(x;),),;(~,,1xfXXiidn设以样本(X1,…,Xn)出发制定一个法则,一旦观测值(x1,…,xn)确定后,我们由这个法则就可作出判断是拒绝H0还是接受H1,这种法则称为H0对H1的一个检验法则,简称检验法。样本观测值的全体组成样本空间S,把S分成两个互不相交的子集W和W*,即S=W∪W*,W∩W*=假设当(x1,…,xn)∈W时,我们就拒绝H0；当(x1,…,xn)∈W*时,我们就接受H0。子集WS就称为检验的拒绝域。(二)检验法则与拒绝域(三)检验的两类错误第一类错误---弃真,在H0真的情况下作出拒绝H0的结论；第二类错误---取伪，在H0假的情况下作出接受H0的结论。记α=P{拒绝H0|H0真};=P{接受H0|H0假}对于给定的一对H0和H1,总可找出许多拒绝域,人们自然希望找到这种拒绝域W,使得犯两类错误的概率都很小。奈曼—皮尔逊(Neyman—Pearson)提出了一个原则：“在控制犯第一类错误的概率不超过指定值的条件下,尽量使犯第二类错误小”按这种法则做出的检验称为“显著性检验”,称为显著性水平或检验水平。怎样构造的拒绝域方可满足上述法则？如:对总体X~N(,1),要检验H0：=0；H1：≠0显著性检验的思想和步骤：(1)根据实际问题作出假设H0与H1；(2)构造统计量,在H0真时其分布已知；(3)给定显著性水平的值,参考H1,令P{拒绝H0|H0真}=,求出拒绝域W；(4)计算统计量的值,若统计量W,则拒绝H0,否则接受H0步骤：1、提出假设:H0：=0；H1：002:XUn、计算23U、由，查的值；02024||;||.UUHUUH、若，接受若，拒绝例：一台包装机包装面盐，包得的袋装面盐重是一个随机变量，它服从正态分布，当机器正常时，其均值为0.5公斤，标准差为0.015公斤，某日开工后，为检验包装机是否正常，随机抽取他所包装面盐9袋。经测量与计算得x=0.511，取0.05，问机器是否正常。（查表0.0251.96）解：（1）0:0.5;0.5H（2）检验统计量：0.01590.5xZ计算统计量的值：0.01590.5110.52.2Z（3）结论：0.0251.96Zz，落入拒绝域，拒绝0H.因此认为这天包装机工作不正常。说明：(1)H0：=0；H1：0称为双边HT问题；而H0：=0；H1：0(或0),则称为单边问题；(2)H0：0；H1：0或H0：0；H1：0也称为单边HT问题,不过这是一个完备的HT问题。(3)可证:完备的HT问题与不完备的HT问题有相同的拒绝域,从而检验法一致。·先考虑不完备的右边HT问题的解H0：=0；H1：0,)10H00，~N(nσμXU下}{2UUWα，}UUp{可得拒绝域：由现考虑完备的右边HT问题H0：0；H1：0,00)10H，~N(nσμX下)}({UUW若取拒绝域为则犯第一类错误的概率为)}({}|)({00UnXPUUP})({0nUnXPnU0)(1))((1U于是}|)({sup00UUP)}({UUW故是H0：0；H1：0,的水平为的拒绝域例1：设某厂生产一种灯管,其寿命X~N(,2002),由以往经验知平均寿命=1500小时,现采用新工艺后,在所生产的灯管中抽取25只,测得平均寿命1675小时,问采用新工艺后,灯管寿命是否有显著提高。(=0.05)解:1500:1500:10HH)10252001500H0，~N(XU下()},(0.05)1.6452UUαUU由P{可得拒绝域：这里645.1375.42520015001675u拒绝H0·左边HT问题H0：=0；H1：0,或H0：0；H1：0,)1000，~N(nσμX时α}Up{U)(由)(UU可得显著性水平为的拒绝域为(P173,5)已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112).某日测得5炉铁水含碳量如下:4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果标准差不变,该日铁水的平均含碳量是否显著偏低?(取=0.05)解:55.4:55.4:10HH)10511.055.4H0，~N(XU下α}Up{U)(由645.1)05.0(UU得水平为的拒绝域为这里645.178.3511.055.4364.4u拒绝H0注:上题中,用双边检验或右边检验都是错误的.若用双边检验,H0：=4.55；H1：4.55,则拒绝域为96.1)2(UU由|U|=3.781.96,故拒绝H0,说明可以认为该日铁水的平均含碳量显著异于4.55.但无法说明是显著高于还是低于4.55.不合题意若用右边检验,H0：4.55；H1：4.55,则拒绝域为645.1)05.0(UU由U=-3.78-1.96,故接受H0,说明不能认为该日铁水的平均含碳量显著高于4.55.但无法区分是等于还是低于4.55.不合题意.2、2未知的情形----T检验·双边检验:对于假设H0：=0；H1：0)1(~:00ntnSXTH真时由p{|T|t/2(n1)}=,22得水平为的拒绝域为|T|t/2(n1),步骤：1、提出原假设:H0：=0；H1：002:XTSn、计算23(1)ntn、由，，查的值；02024||(1);||(1).TtnHTtnH、若，接受若，拒绝例：设正常人的身高服从正态分布，平均身高为172公分。现测得9例某种病患者的身高，算得平均数为167次/分，标准差为S=2次/分。问这种病患者身高与正常人有无显著差异（=0.05，t0.025(9)=2.262;t0.025(8)=2.306）？解：设这种病患者平均身高为µ。（1）0:172;172H（2）检验统计量：172XTnS计算统计量的值：16717233.32t（3）结论：0.025(8)2.306tt，拒绝原假设0H.因此认为这种病患者身高与正常人有显著差异.解：提出假设检验问题：:μ=70,：μ≠70,～t(n-1),其中n=36,=66.5,s=15,α=0.05,所以，接受，可以认为平均成绩为70分。nSXt/70x03.24.136/15|705.66|||t/20.025(1)(35)2.03tnt0H1H0H例:设某次考试的考生的成绩X服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分?例2：某种元件的寿命X（以小时计）服从正态分布2(,)N，2,均未知，现测得16只元件的寿命的均值x=241.5，s=98.7259，问是否有理由认为元件的平均寿命与225（小时）有差异。（0.0250.05,(15)2.1315t）解：（1）01:225;:225HH,（2）检验统计量：225xtns,计算统计量的值：98.725916241.52250.6685t（3）结论：0.0250.6685(15)2.1315tt，没有落入拒绝域，接受0H.因此无理由认为元件的平均寿命与225有差异.(P173,4)用热敏电阻测温仪间接温量地热勘探井底温度,重复测量7次，测得温度(℃):112.0113.4111.2112.0114.5112.9113.6而用某种精确办法测得温度为112.6(可看作真值),试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差(设温度测量值X服从正态分布,取=0.05)?解:H0：=112.6；H1：112.6)1(~:00ntnSXTH真时由p{|T|t0.025(n1)}=0.05,得水平为=0.05的拒绝域为|T|t0.025(6)=2.4469这里4469.2466.0|7135.16.1128.112|||t接受H0·右边HT问题H0：=0；H1：0,或H0：0；H1：0,)1(~:00ntnSXT时由p{Tt(n1)}=,得水平为的拒绝域为Tt(n1),(P173,7)某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620(kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为:10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,10670.认为抗拉强度服从正态分布,取=0.05,问新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合金线抗拉强度要高?解:H0：=10620；H1：10620)1(~:00ntnSXTH真时由p{Tt0.05(9)}=0.05,得拒绝域为Tt0.05(9)=1.8331这里8331.145.01081106204.10631t接受H0·左边HT问题H0：=0；H1：0,或H0：0；H1：0,)1(~:00ntnSXT时由p{T-t(n1)}=,得水平为的拒绝域为T-t(n1)7.3、单总体方差的假设检验20212020：；：HH。：；：检验假设，，值，由观测，给定检验水平，，，设20212020n12iidn1HHxx)(NXX~1、假定未知：双边检验:对于假设)(n~χσ)S(n-H11220220下22221α)}(nχ)或(nχp11{2222212由。或)1()1(22/222/12nn得水平为的拒绝域为。可解得拒绝域：，：；：而对单边问题；可解得拒绝域：，：；：对于单边问题)1()1(222021202021220212020nHHnHH(P173,11.)电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min）为42,65,75,78,59,57,68,54,55,71.问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等于80?(=0.05),熔化时间为正态变量.)80802120：；：HH)9(809802222~χS时)}9({222χp由得水平为=0.05的拒绝域为这里20229σS7.13808.1219接受H0023.19)9()9(2025.0222χχ设保险丝的融化时间服从正态分布，取9根测得其熔化时间（min）的样本均值为62,标准差为10.(1)是否可以认为整批保险丝的熔化时间服从N(60,92)?(=0.05)(2)是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差显著大于70?(=0.05)答:(1)|t|=0.62.306,接受60;2.18X2=9.87717.535,接受10(2)X2=11.4215.507,认为方差不显著大于70以下删除6.3双正态总体