第16讲转化灵活的圆中角知识纵横角是几何图形中最重要的元素,证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角,而圆的特征,赋予角极强的活性,使得角能灵活地互相转化。根据圆心角与圆周角的倍半关系,可实现圆心角与圆周角的转化;由同弧或等弧所对的圆周角相等,可将圆周角在大小不变的情况下,改变顶点在圆上的位置进行探索;由圆内接四边形的对焦互补和外角等于内对角,可将于圆有关的角互相联系起来。熟悉以下基本图形、基本结论。例题求解【例1】如图,圆O是ABC的外接圆,CD是直径,40B,则ACD的度数是_____________(2011年荆州市中考题)思路点拨略【例2】如图,AB为圆O的直径,AC交圆O于E点,BC交圆O于D点,BDCD,70C,现给出以下四个结论:①45A;②ABAC;③弧AE=弧BE;④22BDABCE其中正确的结论的序号是().A①②.B②③.C②④.D③④(苏州市中考题)思路点拨充分运用于圆有关的角,寻找特殊三角形、相似三角形,逐一验证。【例3】如图,已知四边形ABCD外接圆O的半径为5,对角线AC与BD的交点为E,且8,2BDACAEAB,求ABD的面积。思路点拨由条件出发,利用相似三角形、圆中角可推得A为弧BD中点,这是解本例的关键。【例4】如图①,圆O中AB是直径,C是圆O上一点,45ABC,等腰直角三角形DCE中DCE是直角,点D在线段AC上。(1)证明:B、C、E三点共线;(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明:OMMN2;(3)将DCE绕点C逆时针旋转)900(后,记为11CED(如图②),若1M是线段1BE的中点,1N是线段1AD的中点,1112OMNM是否成立?若是,请证明;若不是,说明理由。(2011年广州市中考题)思路点拨对于(2),充分利用条件中的多个中点,探寻线段之间的数量关系于位置关系。【例5】如图,ADACAB、、是圆O中的三条弦,点E在AD上,且AEACAB求证:(1)DBECAD2;(2)DCBDABAD22(浙江省竞赛题)分析对于(2),DEAEADAEADAEADABADABADABAD)())(())((22需证DCBDDEAEAD)(,从构造相似三角形入手。【例6】如图,已知AB是圆O的直径,CD平分ACB,求证:CDBCAC2分析与解如图,补短构造CBAC或联想角平分线性质等。学力训练基础夯实1.如图,AB为圆O的直径,C为圆O上一点,且80AOC,点D在圆O上(不与CB、重合),则BDC的度数是__________________.(抚顺市中考题)2.如图,已知EDCBA、、、、均在圆O上,且AC为圆O的直径,则CBA_________________.(河南省中考题)3.如图,已知BA、两点的坐标分别为)2,0(),0,32(,P是AOB外接圆上一点,且45AOP,则点P的坐标为________________.(苏州市中考题)4.如图,已知圆O的内接四边形ABCD的对角线CA平分BCD,ABAD,CBAE于E,给出下列结论:①DBOA;②CECBCD2;③ACBDACCBA。其中,正确结论的序号是__________________.5.如图,PQR是圆O的内接正三角形,四边形ABCD是圆O的内接正方形,QRBC∥,则AOQ()。60.A65.B72.C75.D(安徽省中考题)6.如图,AD是圆内接三角形ABC的高,AE是圆的直径,6AB,3AC,则ADAE等于()。23.A22.B33.C32.D(南充市中考题)7.如图,在圆O中,P为弧BAC的中点,CDPD,CD交圆O于A,若1ADAC,则AB的长为()。5.2.A3.B5.3.C4.D8.如图,正ABC内接于圆O,P是劣弧BC上任意一点,PA于BC交于点E,有如下结论:①PCPBPA;②PCPBPA111;③PCPBPEPA.其中,正确结论的个数为()。A.3个B.2个C.1个D.0个(天津市中考题)9.如图,已知等边ABC内接于圆O,P是弧AB上任一点(点P不与BA、重合),连接BPAP、,过C作BPCM∥交PA的延长线于点M。(1)求证:PCM为等边三角形;(2)若1PA,2PB,求梯形PBCM的面积。(2011年孝感市中考题)10.正方形ABCD的四个顶点都在圆O上,E是圆O上的以点。(1)如图①,若点E在弧AB上,求证:AEBEDE2;(2)如图②,若点E在弧AD上,求证:EBECEA为定值。(三明市中考题)能力拓展11.已知在半径为2的圆O中,圆内接ABC的边32AB,则C的度数为________________.(广东省竞赛题)12.如图,已知圆O的直径AB长为10,弦AC长为6,ACB的平分线交圆O于D,则CD长为_______________.(武汉市中考提)13.如图,圆内接四边形ABCD中,60A,90B,3AD,2CD,则BC_____________.(江苏省竞赛题)DCBA14.如图,AB是半圆直径,半径ABOC于点O,AD平分CAB分别交OC于点E,交弧BC于点D,连接ODCD、,给出以下四个结论:①DEOAECSS2;②CDAC2;③DADEDO2;④ABCECD22.其中正确结论的序号是__________________.(2011年嘉兴市中考题)15.如图,AB是半圆的直径,D是弧AC的中点,40B,则A等于()。60.A50.B80.C70.D(重庆市竞赛题)16.如图,ABC的高BGCF、相交于点H,分别延长BGCF、于ABC的外接圆交于ED、两点,则下列结论:①AEAD;②AEAH;③若DE为ABC的外接圆的直径,则AEBC.其中正确的是()。.A①.B①②.C②③.D①②③17.如图,已知在ABC中,34ACAB,高4AD,则ABC的外接圆半径是()。3.A4.B5.C6.D(四川省竞赛题)18.如图,ABC内接于圆O,BCAD于点D,ACBE于点E,BEAD、相交于点H。若6BC,4AH,则圆O的半径为()。5.A132.B13.C211.D(2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题)19.如图,已知四边形ABCD外接圆圆O的半径为2,对角线AC与BD的交点为E,ECAE,AEAB2,且32BD,求四边形ABCD的面积。(全国初中数学联赛题)20如图①,已知圆M于x轴交于DA、两点,与y轴正半轴交于B点,C是圆M上一点,且)0,2(A,)4,0(B,BCAB。(1)求圆心M的坐标;(2)求四边形ABCD的面积;(3)如图②,过C点作弦CF交BD于E点,当BEBC是,求CF的长。综合创新21.如图,ABC内接于圆O,BCAC,点D为弧ACB的中点,求证:22CDBCACAD.(天津市竞赛题)22.如图,已知半圆O的直径4AB,将一个三角形的直角顶点固定在圆心O上,当三角板绕着O点转动时,三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于DC、两点,连接BCAD、交于点E。(1)求证:ACE~BDE;(2)求证:DEBD;(3)设xBD,求AEC的面积y与x的函数关系,并写出自变量x的取值范围。(广东省中考题)