数学培优竞赛新方法(九年级)-第5讲-明快简捷--构造方程的妙用

24第五讲明快简捷—构造方程的妙用知识纵横有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是：1．利用根的定义构造[来源:学&科&网Z&X&X&K]当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根．2．利用韦达定理逆定理构造若问题中有形如ayx，bxy的关系式时，则x、y可看作方程02bazz的两实根．[来源:学,科,网Z,X,X,K]3．确定主元构造对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程．成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果．注：许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法．例题求解【例1】若实数x满足._____,16545,1634333332222yxyxyx则（全国初中数学联赛题）思路点拨直接解方程组难度较大，变更主元，将3353、看做某一个一元二次方程的两根，构造方程解。【例2】设则代数式且,,31,3122babbaa2211ba的值为（）A．5B．7C．9D．11（全国初中数学联赛题）思路点拨这两个方程具有相同的结构，从利用构造方程入手。【例3】已知实数a、b满足122baba，且22baabt，求t的取值范围．（“TI杯”全国初中数学竞赛题）思路点拨由两个等式可求出ba、ab的表达式，这样既可以从配方法入手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间．25【例4】已知实数a、b、c满足2cba，4abc．(1)求a、b、c中最大者的最小值；(2)求3cba的最小值．（“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛题）思路点拨不妨设a≥b，a≥c，由条件得acb2，abc4．构造以b、c为实根的一元二次方程，通过△≥0探求a的取值范围，并以此为基础去解(2)．【例5】求方程91292222xyyxyx的非负整数解（江苏省竞赛题）分析把原方程化为关于x的一元二次方程，从判别式入手。三角形内接平行四边形【例6】如图，某人用一张面积为S的三角形纸片ABC，剪出一个平行四边形DEFG，求证：S□DEFGS21。学历训练1．设21xx、是方程02)1(222kxkx的两个实根，且8)1)(1(21xx，则k的值是。ABCDEFGHR262．在Rt△ABC中，斜边AB＝5，已知BC、AC是一元二次方程0)1(4)12(2mxmx的两个根，则m的值是．（四川省竞赛题）3．已知a、b满足是非负实数，且a1，0111baba，则ab的值为．4．若实数a、b满足等式bbaa37,3722，则代数式baab的值为（）A．723B．723C．723-2或D．723-2或（广东省竞赛题）5．已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S△AOB＝4，S△COD＝9，则四边形ABCD的面积S的最小值为()A．21B．25C．26D．36（天津市中考题）6．设17a，则代数式12612322aaa的值为（）A．24B．25C．1074D．1274（2011年“《数学周报》”全国初中数学竞赛题）7．（1）对于任意给定的一个矩形C，是否存在另一个矩形，使得它的周长和面积都是矩形C的2倍？说明你的理由。（2）当实数m是什么值时，对于任何一个矩形C都存在另一个矩形，它的周长和面积都是矩形的m倍？证明你的结论。（台州市中考题）8．已知x和y是正整数，并且满足条件71yxxy，88022xyyx，求22yx的值．（第14届江苏省竞赛题）能力拓展9．已知05232mm，03252nn，其中m、n为实数，则nm1＝．（第15届江苏省竞赛题）10．已知a为实数，且使关于x的一元二次方程022axax有实数根，则x所能取到的最大值是。27（山东省竞赛题）11．已知017101422522yxxyyx，则x=，y=．12．已知实数ba，且满足22)1(3)1(3),1(33)1(bbaa，则baaabb的值为。（全国初中数学竞赛题）13．已知a、b、c均为实数，且0cba，2abc，求cba的最小值．14．已知ba、为实数，且322baba，若22baba的最大值时m，最小值是n，求m+n的值。（天津市竞赛题）综合创新15．如图，已知△ABC和平行于BC的直线DE，且△BDE的面积等于定值2k，那么当2k与△BDE之间满足什么关系时，存在直线DE，有几条?16.已知cb、、a时整数，满足22,3,02abccbac，若关于x的方程0)(2dabxdcdx的解只有一个值，求d的值。（武汉市竞赛题）