数学培优竞赛新方法(九年级)-第10讲-二次函数与二次方程

第十讲二次函数与二次方程知识纵横方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题。在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答。二次函数2(0)yaxbxca，令0y，则得20axbxc，这是一个关于x的一元二次方程，它们的联系表现在：方程实根的个数、抛物线与x轴交点的个数的探讨都可以转化为由根的判别式来讨论，特别地，设1(,0)Ax，2(,0)Bx为抛物线与x轴的两个不同交点，则（1）12bxxa，12cxxa；（2）2214bacABxxa例题求解：【例1】（1）在直角坐标系中，抛物线223(0)4yxmxmm与x轴交于两点。若点A、B到原点的距离分别为OA、OB，且满足1123OBOA，则m的值为。（全国初中数学竞赛题）（2）已知直线yb（b为实数）与函数243yxx的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是。（海南省竞赛题）思路点拨：对于（1），设1(,0)Ax，2(,0)Bx，把OA、OB用1x、2x的式子表示，建立m的方程，解题关键是判断1x、2x正负性；对于（2），作出函数图象，借助图象解题。【例2】设关于x的方程2(2)90axaxa有两个不相等的实数根1x，2x，且121xx，那么a的取值范围是（）A、2275aB、25aC、27aD、2011a思路点拨：；在根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与x轴的交点满足121xx的a的值，注意判别式的隐含制约。【例3】已知关于x的二次函数2(0)yaxbxca的图象经过点(0,1)C，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）。（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线1y交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记PCD的面积为1S，PAB的面积为2S，当01a时，求证：12SS常数，并求出该常数。（2011年广州市中考题）思路点拨：对于（2），由判别式建立a的不等式；对于（3），将12SS转化为易求出或易表示的三角形的面积差。【例4】在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点(,1)(0)Pmm。连接OP，将线段OP绕点O按逆时针方向旋转90得到线段OM，且点M是抛物线2yaxbxc的顶点。（1）若1m，抛物线2yaxbxc经过点(2,2)，当01x时，求y的取值范围；（2）已知点(1,0)A，抛物线2yaxbxc与y轴交于点B，直线AB与抛物线2yaxbxc有且只有一个交点，请判断BOM形状，并说明理由。（厦门市中考题）【例5】已知抛物线232yaxbxc。（1）1ab，1c，求该抛物线与x轴公共点的坐标；（2）1ab，且当11x时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；（3）若0abc，且10x时，对应的10y；21x时，对应的20y，试判断当01x时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由。（天津市中考题）三个两次【例6】设,mn为正整数，且2m，如果对一切实数t，二次函数2(3)3yxmtxmt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于2tn，求,mn的值。（全国初中数学联赛题）思路点拨：由2(3)3yxmtxmt，得123,xxmt，由条件得32mttn，因此不等式对任意实数t都成立，故将问题转化为判别式结合正整数求解。学力训练基础夯实：1、已知二次函数22yxxm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程220xxm的解为。（江西省中考题）2、抛物线2yxbxc的部分图象如图所示，若0y，则x的取值范围是。（新疆建设兵团中考题）3、如图，已知二次函数2yaxbxc的图象经过点(1,0),(1,2)AB，该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为。（2011年舟山市中考题）4、下列表格是二次函数2yxbxc的自变量x与函数值y的对应值，判断方程20axbxc（0,aa、b、c为常数）的一个解x的范围是（）。x6.176.186.196.202yaxbxc－0.03－0.010.020.04A、66.17xB、6.176.18xC、6.186.19xD、6.196.20x（兰州市中考题）5、如图，抛物线21yx与双曲线kyx的交点的横坐标为1，则关于x的不等式210kxx的解集是（）。A、1xB、1xC、01xD、10x（2011年无锡市中考题）6、已知函数22(1)1(3)(5)1(2)xxyxx，且使yk成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A、0B、1C、2D、3（2011年黄冈市中考题）7、已知函数261ymxx（m是常数）。（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值。（2011年南京市中考题）8、使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如，对于函数1yx，令0y，可得1x，我们说1是函数1yx的零点。已知函数222(3)yxmxm（m为常数）。（1）当0m时，求该函数的零点；（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x和2x，且121114xx，此函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线10yx上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式。（2011年长沙市中考题）9、已知关于x的一元二次方程2xbxcx有两个实数根12,xx，且满足1210,1xxx。（1）证明：0c；（2）证明：22(2)bbc；（3）对于二次函数2yaxbxc，若自变量取值为0x，其对应的函数值为0y，则当010xx时，试比较0y与1x的大小。能力拓展：10、设m是整数，且方程2320xmx的两根都大于95而小于37，则m。（全国初中数学联赛题）11、已知二次函数2yaxbxc（其中a是正整数）的图象经过点(1,4)A，点(2,1)B，并且与x轴有两个不同的交点，则bc的最大值为。（全国初中数学竞赛题）12、设二次函数222(0)2ayxaxa的图象顶点为A，与x轴交点为B、C，当ABC为等边三角形时，a的值为。（太原市竞赛题）13、若方程20xpxq的一个根大于1，另一个根小于1，则pq的值为（）。A、不大于1B、大于1C、小于1D、不小于1（2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题）14、方程21(423)(2)xx的解的个数为（）。A、1个B、2个C、3个D、4个（2011年全国初中数学联赛题）15、若对所有的实数x，2xaxa恒为正，则（）。A、0aB、4aC、0a或0aD、04a（第21届江苏省竞赛题）16、已知抛物线2yxpxq上有一点00(,)Mxy位于x轴的下方。（1）求证：此抛物线与x轴交于两点；（2）设此抛物线与x轴的交点为12(,0),(,0)AxBx，且12xx，求证：102xxx。（天津赛区选拔赛试题）17、已知抛物线2yx与动直线(21)ytxc有公共点1122(,),(,)AxyBxy,且2221223xxtt，求实数t的取值范围。（全国初中数学竞赛题）综合创新：18、如图①，抛物线23yaxbx经过(3,0)A,(1,0)B两点。（1）抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线29yx与y轴交于点C，与直线OM交于点D。现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上。若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图②将抛物线平移，当顶点至原点时，过(0,3)Q作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点。问在y轴的负半轴上是否存在点P，使PEF的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（2011年武汉市中考题）19、已知二次函数2yxbxc的图象经过两点(1),(210)PaQa，　，　。（1）如果a、b、c都是整数，且8cba，求a、b、c的值；（2）设二次函数2yxbxc的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，如果关于x的方程20xbxc的两个根都是整数，求ABC的面积。（全国初中数学联赛题）