平面向量复习平面向量

平面向量复习平面向量表示运算实数与向量的积向量加法与减法向量的数量积平行四边形法则向量平行的充要条件平面向量的基本定理三角形法则向量的三种表示一、向量的相关概念:1)定义（1）零向量：（2）单位向量：（3）平行向量：（4）相等向量：（5）相反向量：2)重要概念：3)向量的表示4)向量的模（长度）二、向量的运算1）加法：①两个法则②坐标表示减法:①法则②坐标表示运算律?,)2(?,)1(,:则四边形是什么图形则四边形是什么图形注babababADaAB2)实数λ与向量a的积3)平面向量的数量积：(1)两向量的交角定义(2)平面向量数量积的定义(4)平面向量数量积的几何意义(3)a在b上的投影(5)平面向量数量积的运算律(6)平面向量数量积的性质③求距离①垂直的充要条件②求夹角三、平面向量之间关系向量平行(共线)充要条件的两种形式:向量垂直充要条件的两种形式:（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的坐标相等.四、平面向量的基本定理注:满足什么条件的向量可作为基底?向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。重要概念：（1）零向量：长度为0的向量，记作0.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量.（3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量.（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.几何表示:有向线段向量的表示字母表示:aAB、等坐标表示:(x，y)若A(x1,y1),B(x2,y2)则AB=(x2－x1,y2－y1)a向量的模（长度）1.设a=(x,y),则2.若表示向量a的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则ABa22yx221221yyxx平面向量复习1.向量的加法运算ABCAB+BC=三角形法则OABCOA+OB=平行四边形法则坐标运算:则a+b=重要结论：AB+BC+CA=0设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)ACOC平面向量复习2.向量的减法运算1）减法法则：OABOA－OB=2）坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a－b=3.加法减法运算率a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交换律：2）结合律：BA(x1－x2,y1－y2)平面向量复习实数λ与向量a的积定义：坐标运算：其实质就是向量的伸长或缩短！λa是一个向量.它的长度|λa|=|λ||a|；它的方向(1)当λ≥0时,λa的方向与a方向相同；(2)当λ＜0时,λa的方向与a方向相反.若a=(x,y),则λa=λ(x,y)=(λx,λy)1、平面向量的数量积（1）a与b的夹角：•（2）向量夹角的范围：•（3）向量垂直：[00，1800]abθ共同的起点aOABbθOABOABOABOAB（4）两个非零向量的数量积：规定：零向量与任一向量的数量积为0a·b=|a||b|cosθ几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。AabθBB1OBAθbB1aOθBb(B1)AaO5、数量积的运算律：⑴交换律：abba⑵对数乘的结合律：)()()(bababa⑶分配律：cbcacba)(注意：数量积不满足结合律)()(:cbacba即平面向量数量积的重要性质（1）e·a=a·e=|a|cosθ（2）a⊥b的充要条件是a·b=0(3)当a与b同向时，a·b=|a||b|;当a与b反向时，a·b=-|a||b|特别地：a·a=|a|2或|a|=（4）cosθ=（5）|a·b|≤|a||b|ab为非零向量，e为单位向量向量垂直充要条件的两种形式:0)2(0)1(2121yyxxbabababa二、平面向量之间关系向量平行(共线)充要条件的两种形式:0)0),,(),,((//)2(;)0(//)1(12212211yxyxbyxbyxabababba（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的坐标相等.即:那么),,(11yxa),(22yxb2121yyxxba且三、平面向量的基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使21,ee,,21a2211eea练习1：判断正误，并简述理由。221.0002.0003.04.5.//6.abababababacabcaaaaababbababb若，，则若，则或若，且，则，则a，则a(√）(√）(√）(×）(×）(×）平面向量复习2.设AB=2(a+5b)，BC=2a+8b，CD=3(ab)，求证：A、B、D三点共线。分析要证A、B、D三点共线，可证AB=λBD关键是找到λ解：∵BD=BC+CD=2a+8b+3(ab)=a+5b∴AB=2BD且AB与BD有公共点B∴A、B、D三点共线AB∥BD例33、若向量=（-3，4），则按向量=（2，-1）平移后的坐标为ABABa例已知直线l经过点和，用向量方法求l的方程。111(,)Pxy222(,)Pxy解设P（x，y）是直线l上任意一点，则因为三点都在直线l上，122121111(,),(,)PPxxyyPPxxyy所以211211()()()()xxyyyyxx这就是直线l的方程12,,PPP思考1、已知两点，试用向量的方法证明以AB为直径的圆的方程为11(,)Axy1212()()()()0xxxxyyyy22(,)Bxy