第五节-随机变量函数的分布

随机变量及其分布第五节随机变量函数的分布一、问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.求截面面积A=的分布.比如，已知圆轴截面直径d的分布，再比如，已知分子运动速度X的分布，求该分子动能的分布.212YmX()()()iiifxXxXxYyfxYXYfX设是定义在随机变量一切可能取值所构成集合上的函数，若随取值为时，随随机变量机变量取值与之对应则称是关于的函数，记作随机变量函数虽然揭示的是两个随机变量的关系，但其本质依然是建立在取值之间的对应。一、问题的提出一、问题的提出如何由X的分布求出Y的分布？例如：设X为随机变量，则为随机变量函数.2YX()PYx2()PXx()PxXx()PYx2()PXx()()PXxPXx研究随机变量函数的分布，无非就是通过已知的自变量分布情况，推知因变量的概率分布情况解：当X取值1，2，5时，Y取对应值5，7，13故～设X求Y=2X+3的概率分布.例1二、离散型随机变量函数的分布P(Y=5)=P(2X+3=5)=P(X=1)=0.2P(Y=7)=P(2X+3=7)=P(X=2)=0.5P(Y=13)=P(2X+3=13)=P(X=5)=0.3二、离散型随机变量函数的分布解：Y的所有取值为3，2，3，即2，3设求Y=X2+2的概率分布.例2X～Y～P(Y=2)=P(X2+2=2)=P(X=0)=0.6P(Y=3)=P(X2+2=3)=P(X=-1)+P(X=1)=0.4如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.一般地，若X是离散型随机变量，X的分布律为X～则Y=g(X)～二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布设求Y=(X-1)2的概率分布.练习01490.30.10.30.3Y答案：三、连续型随机变量函数的分布()()()()().XXYYXfxFxYfXFyfy已知的或，求的或1.定义法对于X存在正概率密度区间上的一切x，令min(),max()xxαfxβfx()YFy针对()0yFy(())PfXy()yPXD()yXDfxdx(1),()=();YYαyβfyFy(2)[,)()0.Yyαβfy，(1)yα()()yFyPYy()1yFy(2)yβ(3)αyβ()Yfy针对三、连续型随机变量函数的分布3(5,6),XU例：圆的直径为随机变量求面积的概率分布2(5,6),4XUYX解：由已知且面积2156(),(5,6)40Xxfxyx，对于函数单调其它22565625=min(),=max()9444xxxx25(1),()0;4YyFy(2)9,()1;YyFy三、连续型随机变量函数的分布3(5,6),XU例：圆的直径为随机变量求面积的概率分布25(3)9,4y2()4πPXy(5,6)X由于只在存在概率密度()()yFyPYy44()PyXyππ4(5)PXyπ454=15yπdxyπ454=565yπyπ（）2504425()59419YπyyπFyyππyπ三、连续型随机变量函数的分布3(5,6),XU例：圆的直径为随机变量求面积的概率分布()()YYXfyFy对于的密度函数，可由求导计算25194()=0Yπyππyfy其它44()(5)=()(5)yXXFyPXyFyFππ另外在刚才分布函数的计算中4441()()(())((5))()()1YyXXXfyFyFyFfyyππππy例4设X概率密度为,求Y=X2的概率密度.当y0时,注意到Y=X20，故当y0时，.解：设Y和X的分布函数分别为和，三、连续型随机变量函数的分布则Y=X2的概率密度为：求导可得若三、连续型随机变量函数的分布从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y)的过程中，关键的一步是设法从{f(X)≤y}中解出X,从而得到与{f(X)≤y}等价的X的不等式.这样是为了利用已知的X的分布，从而求出相应的概率.三、连续型随机变量函数的分布例如，用代替{2X+8≤y}8{}2yX用代替{X2≤y}{}yXy三、连续型随机变量函数的分布()()yYYXFyfy连续型随机变量函数的分布，从分布函数定义出发，通过等概率事件的转化，建立随机变量与之间分布函数的联系，得到，后利用导数关系求得。这就是求解随机变量函数概率分布的定义法。(,)αβ值得说明的是，定义法可以针对几乎所有类型的随机变量函数，而且关键就在于内分布函数解析式的确定。三、连续型随机变量函数的分布(0,1).2XXNYe练习设，求的概率密度0()()()()0XyyFyPYyPeyP解：当时，0()()()XyyFyPYyPey当时，2ln21(ln)2xyPXyedx2(ln)21,0()()20,0yYYeyfyFyyy三、连续型随机变量函数的分布2.公式法（单调或在单调区间分析的随机变量函数）=()YfXαyβ增函，对于数若为单调()()(())YFyPYyPfXy11(())(())XPXfyFfy1()[)))](((YXYyfyFyFfy11(())(())XFfyfy11(())(())Xffyfy=()YfXαyβ减函，对于数若为单调()()(())YFyPYyPfXy111(())1(())=1(())XPXfyPXfyFfy1()[1(()])()YXYyfyFyFfy11(())(())XFfyfy11(())(())Xffyfy三、连续型随机变量函数的分布=()YfX综上所述：若随机变量函数为单调函数11(())(())()=0XYffyfyαyβfy其它1()()fyYfX为随机变量函数的直接反函数。随机变量函数的单调性决定导数符号。解：例5设随机变量服从正态分布，证明也服从正态分布.三、连续型随机变量函数的分布abyyhx)(解得的概率密度为所以baXY随机变量X的概率密度为此例说明：正态变量的线性函数仍是正态变量.三、连续型随机变量函数的分布即2~,()YaXbNaba所以1,,ab特别，即,XY则(0,1).YN练习38,04()0,xxXfx设其它求Y=2X+8的概率密度.三、连续型随机变量函数的分布解：由y=2x+8，解得(),82yxhy(),12hyY=2X+8的概率密度为8,81618()()32220,Yxyyyfyf其它由0x4，得8y16，()[()]()YXfyfhyhy2221,01()()220,yyyYxeyfyefe其它1,01()0,Xxfx其它Y=-2lnX的密度函数为X的密度函数为设随机变量X服从[0，1]上的均匀分布,求Y=-2lnX的密度函数.练习4解()[()]()YXfyfhyhy三、连续型随机变量函数的分布y=-2lnx(),2yxhye解得(),212yhye