2007-2017全国卷高考理科数学数列专题

第1页（共65页）2007-2017全国卷高考理科数学数列专题一．选择题（共14小题）1．（2008•全国卷Ⅰ）已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138B．135C．95D．23【考点】8F：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+10×(10−1)𝑑2=95．故选C【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．2．（2010•大纲版Ⅰ）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．5√2B．7C．6D．4√2第2页（共65页）【考点】87：等比数列．菁优网版权所有【分析】由数列{an}是等比数列，则有a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10．【解答】解：a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10，a52=a2a8，∴𝑎56=𝑎23𝑎83=50，∴𝑎4𝑎5𝑎6=𝑎53=5√2，故选A．【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．3．（2010•大纲版Ⅱ）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14B．21C．28D．35【考点】8F：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7=7(𝑎1+𝑎7)2=7a4=28故选C【点评】本题主要考查等差数列的性质．4．（2011•大纲版）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2﹣Sk=24，则k=（）A．8B．7C．6D．5【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有第3页（共65页）【专题】11：计算题．【分析】先由等差数列前n项和公式求得Sk+2，Sk，将Sk+2﹣Sk=24转化为关于k的方程求解．【解答】解：根据题意：Sk+2=（k+2）2，Sk=k2∴Sk+2﹣Sk=24转化为：（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选D【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．5．（2012•大纲版）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列{1𝑎𝑛𝑎𝑛+1}的前100项和为（）A．100101B．99101C．99100D．101100【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求an，代入可得1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=1𝑛(𝑛+1)=1𝑛−1𝑛+1，裂项可求和【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，{𝑎1+4𝑑=55𝑎1+10𝑑=15解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n第4页（共65页）∴1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=1𝑛(𝑛+1)=1𝑛−1𝑛+1𝑆100=1−12+12−13+⋯+1100−1101=1﹣1101=100101故选A【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题6．（2012•新课标）已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣7【考点】8G：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，𝑞3=−12，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D第5页（共65页）【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．7．（2013•新课标Ⅰ）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣1=﹣2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．6【考点】8F：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由an与Sn的关系可求得am+1与am，进而得到公差d，由前n项和公式及Sm=0可求得a1，再由通项公式及am=2可得m值．【解答】解：am=Sm﹣Sm﹣1=2，am+1=Sm+1﹣Sm=3，所以公差d=am+1﹣am=1，Sm=𝑚(𝑎1+𝑎𝑚)2=0，得a1=﹣2，所以am=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{an}的前n项和为Sn，即有数列{𝑆𝑛𝑛}成等差数列，则𝑆𝑚−1𝑚−1，𝑆𝑚𝑚，𝑆𝑚+1𝑚+1成等差数列，可得2•𝑆𝑚𝑚=𝑆𝑚−1𝑚−1+𝑆𝑚+1𝑚+1，即有0=−2𝑚−1+3𝑚+1，解得m=5．故选C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项an与Sn的关系，考查学生的计算能力．第6页（共65页）8．（2013•新课标Ⅱ）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．13B．−13C．19D．−19【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{an}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到{𝑎1+𝑎1𝑞+𝑎1𝑞2=𝑎1𝑞+10𝑎1𝑎1𝑞4=9，解出即可．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵S3=a2+10a1，a5=9，∴{𝑎1+𝑎1𝑞+𝑎1𝑞2=𝑎1𝑞+10𝑎1𝑎1𝑞4=9，解得{𝑞2=9𝑎1=19．∴𝑎1=19．故选C．【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．9．（2015•新课标Ⅱ）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．84【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴𝑎1(1+𝑞2+𝑞4)=21，第7页（共65页）∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7=𝑎1(𝑞2+𝑞4+𝑞6)=3×（2+4+8）=42．故选：B【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．10．（2016•新课标Ⅲ）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【考点】8B：数列的应用．菁优网版权所有【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；第8页（共65页）0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．11．（2016•新课标Ⅰ）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．97【考点】8F：等差数列的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{an}前9项的和为27，S9=9(𝑎1+𝑎9)2=9×2𝑎52=9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．12．（2017•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（）A．1B．2C．4D．8第9页（共65页）【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴{𝑎1+3𝑑+𝑎1+4𝑑=246𝑎1+6×52𝑑=48，解得a1=﹣2，d=4，∴{an}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．13．（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．第10页（共65页）【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{bn}的通项公式及前n项和，可知当N为𝑛(𝑛+1)2时（n∈N+），数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和，即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{an}，设bn=𝑎(𝑛−1)𝑛2+1+…+𝑎𝑛(𝑛+1)