DWT

DWT(DiscreteWaveletTransform)……&%*讲述内容1、小波由来2、小波变换主要思想3、离散小波变换的传统实现方案4、哈尔小波变换举例5、小波提升算法实现6、小波变换在图像压缩领域应用小波由来历史傅立叶变换----将信号的时域特征和频域特征联系起来不足：只能反应信号所包含的所有频率分量，并不能指明这些频率分量出现在哪些时刻，也不能指明在任意时刻，信号都包含哪些频率分量,因此缺乏信号的局部化分析能力小波由来原因：傅立叶变换中的基函数（正弦函数和余弦函数）是无限长的，它们收集f(t)不同的频率分量，但不管这些频率分量出现的时刻需求：更好的变换----能够分析局部函数所包含的频谱满足条件：1、能够将f(t)的频率分量当作时间的函数。2、这种变换应该是描述不同t值时f(t)频谱的二维函数或二维数组w(a,b)结果:小波变换应运而生......小波变换主要思想傅立叶变换主要思想：将信号分解成各种不同频率的正弦波，由这些正弦波来重构原信号，因此正弦波是傅立叶变换的基函数，傅立叶系数反映的是不同频率的正弦波基函数在重构函数时所占的比重小波变换主要思想：把信号分解成将原始小波经过移位和缩放之后的一系列小波，由这些小波来重构原始信号，因此小波是小波变换的基函数，小波系数反映的是不同缩放尺度和平移参数的小波基函数在重构原函数时所占的比重因此小波变换也可以理解为用经过缩放和平移的一系列函数（小波）代替傅立叶变换的正弦波。小波变换主要思想母小波（基本小波）特点：并不唯一满足条件：1、函数曲线下的总面积为0，函数在时间轴上上下振动呈现波的外观2、定义在有限区间上的局部函数，只能在某个有限区间内取值，在区间外为0或近似为03、满足相容性条件（存在逆变换的要求）常见的基本小波小波变换小波基函数由基本小波经伸缩和平移得到，若表示基本小波，则形成的一组小波基函数表示为：通过平移b，将小波函数定位到函数的某一区间，来衡量该区间函数所包含的频谱信息，从而使变换具有局部化分析能力缩放因子a用来度量信号频率的大小，其关系可以理解为：缩放因子小，表示小波比较窄，度量的是信号细节，表示频率w比较高；相反，缩放因子大，表示小波比较宽，度量的是信号的粗糙程度，表示频率w比较低。连续小波变换小波系数反映了缩放因子为a，平移参数为b的小波基在重构f(t)时所占的比重，反映了在该小波基覆盖区间，局部化函数所包含的频谱信息离散小波变换尺度和平移参数离散化DWT的传统实现方案执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器的卷积方案用滤波器执行离散小波变换的概念图如下：A是信号的低频分量，表示信号的近似值，是由大的缩放因子产生的系数B是信号的高频分量，表示信号的细节值，是由小的缩放因子产生的系数DWT的传统实现方案多级分解（多分辨率分析）DWT的实现方案逆小波变换（小波重构）要求：滤波器组能够弥补数据损失实现方法：将滤波器组设计成正交滤波器组，构成正交镜像滤波器系统满足条件：''()()()()0HzHzLzLz哈尔小波实现举例实现框图如下：哈尔小波变换举例原理：卷积效果相当于计算平均值和差值原始信号:第一级小波变换哈尔小波变换举例说明第二级小波变换第三级小波变换变换结果分析哈尔变换结果与分辨率关系：二维哈尔小波变换实现方案:1、标准分解方法首先使用一维小波对图像每一行的像素值进行变换，产生每一行像素的平均值和细节系数，然后使用一维小波对这个经过行变换的图像的列进行变换，产生这个图像的平均值和细节系数2、非标准分解方法使用一维小波交替地对每一行和每一列像素值进行变换首先对图像的每一行计算像素对的均值和差值，然后对每一列计算像素对的均值和差值。这样得到的变换结果只有1/4的像素包含均值，再对这1/4的均值重复计算行和列的均值和差值，依此类推二维哈尔小波变换效果图小波提升算法实现基于卷积的滤波：无法即时用离散小波变换系数替换对应点的源信号数据，因此要占用更多的内存，不利于硬件实现，且运算复杂度高小波提升算法主要思想：在不占用额外空间的情况下，完成所有必须的运算，节省内存空间，方便硬件实现小波提升算法实现提升算法基本实现方框图:-UP合并++X(n)偶数Xe(n)奇数Xo(n)c(n)d(n)逆变换（小波重构）小波提升算法实现三个阶段：分割、预测和更新1、分割把原数据x(n)分解成两部分。出于最大限度利用数据局域相关性的考虑，一般是将数据分成奇数序列和偶数序列2、预测用偶数序列预测奇数序列，其中，P表示预测算子，d(n)表示预测残差，该预测残差对应的就是信号的高频信息，相当于基于卷积实现方案中经过高通滤波器滤波后提取的信号，反映的是原始信号的细节信息3、更新其中，U表示更新算子，该过程得到的信号相当于基于卷积方案中经过低通滤波器后提取的信号，对应于原始信号的低频分量，对应的是原始信号的近似值哈尔小波提升算法举例说明实现框图分裂-11/2++X(n)偶数Xe(n)奇数Xo(n)预测提升c(n)d(n)正变换（小波分解）()()()(21)(2)oednxnxnxnxn11()()()()(()())22eeoecnxndnxnxnxn11(()())((21)(2))22oexnxnxnxnXe(n):(643607)Xo(n):(261657)1、分裂：Xe(n):(643607)Xo(n)=d(n):(-6258-5450)2、预测，d(n)=Xo(n)-Xe(n)用预测值d(n)直接代替相应位置处奇数值3、更新，c(n)=Xe(n)+0.5d(n)用更新值c(n)直接代替相应位置处偶数值Xe(n)=c(n):(33323332)Xo(n)=d(n):(-6258-5450)一级小波变换比较：4、系数缩放，d(n)=-0.5d(n)最终结果Xe(n)=c(n):(33323332)Xo(n)=d(n):(31-2927-25)其他小波变换提升算法实现提升格式扩展方案哈尔小波只是用相邻的偶数来预测奇数值，预测简单，变换结果不高预测器可以利用几个相邻像素间的相关性来更好的预测奇数值，达到更好的预测效果JPEG2000标准采用提升方案简介1、W5/3小波----整数变换，可逆重构，实现无损压缩2、D9/7小波----实数变换，非完全可逆重构，只能实现有损压缩W5/3小波提升方案W5/3小波提升方案方框图D9/7小波提升方案D9/7小波提升方案方框图小波变换在图像压缩领域的应用假设有一幅灰度图像，其中的一个图像块矩阵表示如下：小波变换在图像压缩领域的应用三级哈尔小波变换后结果：门限值为5，量化后结果：小波变换在图像压缩领域的应用重构后近似图像：小波变换在图像压缩领域的应用结果比较：总结小波变换带来的多分辨率分析，良好的时频局部化分析等优点，非常灵活的满足了现代传输媒体、因特网、无线网等对图像/视频编码传输提出的关于质量、分辨率渐进传输等要求，在图像、视频、音频等领域得到了广泛应用……..THANKYOU!