时频分析方法

2013/12/25大连理工大学1PartV现代信号处理大连理工大学硕士研究生校管课程信号处理与数据分析电子信息与电气工程学部邱天爽2013年12月2013/12/25大连理工大学2第16章时频分析方法大连理工大学硕士研究生校管课程信号处理与数据分析电子信息与电气工程学部邱天爽2012年9月内容概要•§16.1概述•§16.2时频分析的概念•§16.3短时傅里叶变换•§16.4Gabor展开•§16.5Wigner-Ville分布•§16.6Cohen类时频分布•§16.7时频分布的应用2013/12/25大连理工大学4§16.1概述2013/12/25大连理工大学5•随机信号广义平稳性概念的回顾–如果随机过程（随机信号）满足下述条件：–则为宽平稳随机过程（随机信号）或广义平稳随机过程（随机信号）。211[()]()[()]()[()()][()()]XXXEXttEXtREXtXtEXttXtt)(tX2013/12/25大连理工大学6•随机信号的一般特性–随机信号在理论上可分为平稳和非平稳两大类；–长期以来，由于理论和分析工具的局限性，常将许多非平稳信号简化为平稳信号；–研究非平稳信号处理的必要性：实际应用中的许多信号是非平稳的，简化为平稳信号处理，带来相应的误差；–研究非平稳信号处理的可行性：自20世纪80年代以来，非平稳信号处理理论与方法得到迅速发展和应用，出现了许多非平稳信号分析处理的方法，其主要部分为：时频分析。2013/12/25大连理工大学7•非平稳信号的特性–非平稳信号的统计特性是随时间变化的。图16-1非平稳随机信号举例。(a)时变均值的情况(b)时变均方值的情况()xmt()xDt2013/12/25大连理工大学8•非平稳信号的统计特征–非平稳随机信号的统计特征是时间的函数•信号具有时变均值，时变方差，相关函数与时间起点有关–均方值估计为：–可以证明此估计为无偏估计，即ˆ[()]()xxEmtmt21ˆ[()]()xxVarmttN211ˆ()()NxxiDtxtNˆ[()]()xxEDtDt2013/12/25大连理工大学9•非平稳信号的统计特征（续）–非平稳信号的方差特性一般分析比较困难。–但若非平稳信号x(t)在任意t时刻服从均值为，方差为的高斯分布，可以证明有：–当时，。故这种情况的是一致估计。()xmt2()xt2242ˆVar[()][()()]xxxDtDtmtNN2ˆVar[()]0xDtˆ()xDt2013/12/25大连理工大学10•非平稳信号的相关函数–设非平稳随机信号的2阶联合概率密度函数为，其自相关函数定义为–x,y的互相关函数定义为–为x,y的2阶联合概率密度函数。–自协方差函数与互协方差函数定义为12,xx1212(,;,)pxxtt121212121212(,)[()()](,;,)ddxxrttExtxtxxpxxttxx121212(,)[()()](,;,)ddxyrttExtytxypxyttxy12(,;,)pxytt121222121222(,){[()()][()()]}(,){[()()][()()]}xxxxxyxyCttExtmtxtmtCttExtmtytmt2013/12/25大连理工大学11•分析非平稳信号的主要方法时频分析法线性变换的时频分析法短时傅里叶变换Gabor变换小波变换非线性变换的时频分析法Wigner-Ville分布Cohen类时频分布2013/12/25大连理工大学12•时频分析举例：分段正弦信号2013/12/25大连理工大学13•时频分析举例：线性调频信号2013/12/25大连理工大学14§16.2时频分析的概念2013/12/25大连理工大学15•信号的时宽概念–用表示信号的能量密度，即瞬时功率。–信号的时间中心：–信号的均方持续：–信号的时宽：–各量之间的关系：2|()|st20|()|dtttstt222|()|dttstt1/21/222220()|()|d()|()|dtttsttttstt22ttt2013/12/25大连理工大学16•信号的频宽概念–用表示信号的能量谱密度。–信号的频率中心：–信号的带宽：–各量之间的关系：2|()|S201|()|d2πS1/21/22222011()|()|d()|()|d2π2πSS222222|()|dS2013/12/25大连理工大学17•Hilbert变换与解析信号–实信号的Hilbert变换定义为：–式中，为实变量，表示的Hilbert变换。–Hilbert变换的反变换：–解析信号：•与实信号对应的解析信号定义为，其中构成解析信号的算子。()st1()1()d()*()*()[()]ππsxtststhtHsttt,t[()]Hst()st11()()*()dππxstxttt()st()zt()[()]ztAst[()]()j[()]AststHst2013/12/25大连理工大学18•Hilbert变换与解析信号的作用–在自然界中，信号都是实的。–由傅里叶变换，实信号的能量普密度是偶函数，其中心频率为0.–这显然是荒谬的。–导致0中心披绿的原因是没有对信号做恰当的描述。–需要根据给定的实信号定义新信号，得到只有非负频率成分的复信号。–这种定义靠Hilbert变换完成，所得到的复信号即为解析信号。2013/12/25大连理工大学19•瞬时频率与群延迟–瞬时频率：设复信号，其瞬时频率为：–瞬时频率与傅里叶频率的区别：•傅里叶频率是一个独立的量，瞬时频率是时间的函数。•傅里叶频率与傅里叶变换关联，瞬时频率与Hilbert变换关联。•傅里叶频率是全局量，瞬时频率是局部量。–群延迟：设频域信号，则信号的群延迟为：j()()()etstatd()()ditttj()()|()|eSS()std()()()dgt2013/12/25大连理工大学20•不确定原理（测不准原理）–对于信号分析而言，不确定原理表明：信号的时宽和带宽不可能同时任意地窄，即信号的时宽带宽之积不可能无限地小，定量地：–信号不确定原理表明：不可能存在或构造一个时宽和带宽都任意小的信号。12t2013/12/25大连理工大学21•时频分布与模糊函数的定义–非平稳信号的时变自相关函数：–式中，为窗函数，为局部相关函数。–时变功率谱，即时频分布：–模糊函数：对作关于的傅里叶逆变换，则：*(,)(,)()()d22Rthutsusuu(,)ht(,)Rtj()(,)edPRt*j(,)()()ed22tAststt*()()22ststt2013/12/25大连理工大学22•时频分析的发展–1932年，Wigner在量子力学研究中提出了一些解决这些问题的方法；–1948年，Ville将这一概念引入信号处理领域，得到了著名的Wigner—Ville时频分布（WVD）；–1966年，Cohen提出了新的时频分布方法；–1980年代，又提出了十余种信号时频分布方法；–20世纪80年代后期发展起来的小波变换理论，可以认为是时频分析的又一种形式。后面章节介绍。–目前，时频分析在许多领域得到广泛的应用。2013/12/25大连理工大学23§16.3短时傅里叶变换2013/12/25大连理工大学24•经典傅里叶变换存在的问题–傅里叶变换–存在的问题•傅里叶变换不能给出信号在不同时段上的频率信息信息或结构；•傅里叶变换不能给出随时间变化的频谱。2013/12/25大连理工大学25•举例–设信号由3段频率不同的正弦信号构成，如左图：–右下图为该信号的频谱与时频分析结果（时频谱）()xt2013/12/25大连理工大学26•短时傅里叶变换（STFT）–思路：在时间轴上滑动固定的时间窗，将x(t)划分成多段相同时长的短时信号。在短时内，把信号看作平稳的。–STFT的定义：•其中信号x(t)是慢变的，是短时窗函数，*表示共轭–STFT与Fourier变换的关系•STFT是加窗的Fourier变换；•STFT是时间和频率的二维函数。*j2STFT(,)()()edfuxtfxuwutu*()wt2013/12/25大连理工大学27•短时傅里叶变换的主要性质–STFT是一种线性时频变换；–STFT具有频移特性：–STFT具有时移特性：0j2π0()()eSTFT(,)STFT(,)ftxxtxttftff00()()STFT(,)STFT(,)xxtxtttfttfIf()STFT(,),()STFT(,)Then()()STFT(,)STFT(,)xyxyxttfyttfaxtbytatfbtf2013/12/25大连理工大学28•短时傅里叶变换示意图2013/12/25大连理工大学29•STFT的逆变换–将短时傅里叶正变换式带入上式，有–注意到：–因此–当时，上式的积分存在。j2π()STFT(,)()eddfuxzutfguttf'''*j2π'j2πj2π()'*''()(()()ed)()edd[ed]()()()ddftfuftuzuxtwuttguttffxtwttguttt'j2π()'ed()ftuftu''*''()()()()()ddzutuxtwttguttt'tu2013/12/25大连理工大学30•当则表示，由上式可以完全重构。•完全重构的条件：•可以令，则完全重构条件为•STFT的逆变换可以写成：**()()()()d()()()dzuxuwutguttxuwtgtt()()zuxu*()()d1wtgtt()()gtut2()d1wtt'''''j2π''()STFT(,)()eddftxzutfwtttf2013/12/25大连理工大学31•STFT存在的问题（测不准原理）•对于能量有限的任意信号（窗函数），其时宽和带宽的乘积总是满足下面的不等式：其中是信号的时宽，是信号的带宽。•不相容原理表明：信号的时间分辨率和信号的频率分辨率是一对矛盾的物理量，不能同时提高信号的时间分辨率和信号的频率分辨率。•不同类型的窗函数对STFT的影响不一样。()wt1/2wwTBwTwB2013/12/25大连理工大学32•离散STFT变换•在时频域对（t,f）进行等间隔采样得(nT，kF)•将离散化:••逆变换离散化：*j2π()()STFT(,)()()ekFnTxnmkxnwnmSTFT(,)xtfj2π()()()STFT(,)()ekFnTxmkxnmkgnm2013/12/25大连理工大学33•窗长对STFT的影响•根据不相容原理，窗长对STFT的性能有很大影响。•若窗长为单位冲激信号，时宽为0，则其带宽为无穷大。•若窗函数是常数1，则带宽为0.2013/12/25大连理工大学34•窗函数类型对STFT的影响•窗函数的旁瓣泄漏影响STFT的性能。•高斯窗函数的时宽带宽积=1/2，有最好的时频聚集性，可以获得最好的时间分辨率和频率分辨率。2013/12/25大连理工大学35§16.3Gabor展开2013/12/25大连理工大学36•Gabor展开（又称Gabor变换）的概念–是用窗函数及其时移和频移（或称为调制）形成