高三几何概型复习

武汉市第十七中学刘荣几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__________(_____或_____)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有_______个；②等可能性：每个结果的发生具有__________.(3)公式：P(A)＝_______________________________________.长度或角度面积体积无限多等可能性构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积(1)(教材习题改编)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．()1．对几何概型的理解(3)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝19.()(4)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜0”发生的概率为13.()2．几何概型的计算一个区别一点提醒基本事件的个数几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、角度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关。几何概型古典概型无限个有限个与长度、角度有关的几何概型例1(1)(2013·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为56，则m＝________.考点3(2)如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM1的概率为________．例1(2)如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM1的概率为________．(2)∵∠B＝60°，∠C＝45°，∴∠BAC＝75°，在Rt△ADB中，AD＝3，∠B＝60°，∴BD＝ADtan60°＝1，∠BAD＝30°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM1”，则可得∠BAM∠BAD时事件N发生．由几何概型的概率公式得P(N)＝30°75°＝25.25例1(2)如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM1的概率为________．由几何概型的概率公式得P(N)＝30°75°＝25.思考：本题与“在BC上任取一点M，点M落在BD上的概率”一样吗？原因何在？25（点M在两种情况下分布密度不同）与长度、角度有关的几何概型考点规律方法解答几何概型问题的关键:②当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．①当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为_____．【练习1】(1)设P在[0,5]上随机地取值,则关于x的方程x2＋px＋1＝0有实数根的概率为()．A．15B．25C．35D．4513C与面积有关的几何概型例2：如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A1－π4Bπ2－1C2－π2Dπ4考点A例3：设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（指出概率类型）(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（指出概率类型）考点与面积有关的几何概型【解】设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1)（古典概型）基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)＝912＝34.(2)（几何概型）试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率为P(A)＝3×2－12×223×2＝23.练习：如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．83规律方法数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)＝构成事件A的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度.与面积有关的几何概型与体积有关的几何概型例4：在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．考点画出正方体审题思路⇒找出以点O为中心且到O点的距离等于1的几何体(半球)⇒利用球的体积公式及几何概型的概率公式求解．1－π121．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、角度、面积、体积等常见的几何概型的求解方法．----课堂小结----2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．3．几何概型的两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受个连续的变量控制时．(2)面型几何概型：当基本事件受个连续的变量控制时，一般是把分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．一两两个变量----课堂小结----►甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【审题视点】以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，【方法锦囊】两人不论谁先到都要等迟到者15分钟，即14小时，设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当－14≤x－y≤14，因此转化成面积问题，利用几何概型求解．解则两人能够会面的充要条件是|x－y|≤14.在如图所示平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为1的正方形区域，1414－14≤x－y≤14而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得：P(A)＝SAS＝12－2×1－14×1－14×1212＝716.所以，两人能会面的概率是716.将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域．经典题目再现1.课时作业七十八课后探究作业2.在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为_____．在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么！——毕达哥拉斯同学们辛苦啦！