2-章-位错的弹性理论

第2章位错的弹性理论2.1弹性力学的基本知识2.2直刃型位错的应力场2.3螺型位错的应力场2.4位错的应变能2.5位错的线张力2.6应力场对位错的作用力2.7位错间的相互作用力2.8位错与溶质原子的交互作用能2.9位错的半点阵模型2.10位错的塞积群2.1弹性力学的基本知识1.弹性体(ElasticSolid)及弹性连续介质去掉外力后恢复原状的物体称为弹性体。弹性连续介质是对晶体作了简化假设之后提出的模型，用它可以推导出位错的应力场及有关弹性参量函数。这个模型对晶体作了如下假设：1）完全服从胡克定律，即不存在塑性变形；2）是各向同性的；3）为连续介质，不存在结构间隙。显然，这样的假设是不符合晶体实际情况的。因为晶体的质点不是连续分布的；晶体中也不存在完全没有塑性变形的情况；至于各向异性更是晶体的一个特征。但是对晶体作这样的简化之后，推导出的弹性力学函数，除了对位错中心存在严重畸变的区域不适用外，对大部分存在弹性变形的点阵区域都是合适的。2.记号与正负A应力(Stress)如要研究某一点的应力状态，可以该点为中心截取一个极小的单元体，在单元体的六个面上都有内应力的作用，见图2.1。为了表示一点的应力状态需要有九个应力分量。其中σij表示在i平面上平行于j方向的应力分量。σij角号相同者为正应力，角号不同者为切应力。例如：σxx表示正应力，第一个x表示应力作用在垂直于x轴的面上，第二个x表示应力的方向沿x轴方向，同理有σxy、σxz、σyy、σyx、σyz、……。正负号：正面正方向为正，负面负方向为正。正面负方向为负，负面正方向为负。由于位错产生的畸变往往具有轴对称性，有时采用圆柱坐标系更为方便，如图2.2所示。某一点M的直角坐标可用圆柱坐标表示为：x=rcosθ,y=rsinθ,z=z反之，圆柱坐标也可用直角坐标表示为：，，z=z22yxrxyarctg图2.2直角坐标和圆柱坐标的关系B应变(Strain)线段长度及直角的改变，称为应变。各线段每单位长度的伸缩，即单位伸缩或相对伸缩，称为正应变，用ε表示。如：εxx、εyy、εzz，伸长为正，缩短为负。各线段直角的改变称为切应变，如：εxy、εxz、……。εxy表示x与y两方向线段之间直角的改变，直角变小为正，直角变大为负，图2.4中的变化为正。ll＝原长变化的长度C位移(Displacement)物体内任一点的位移用它在x、y、z三轴上的投影ux、uy、uz表示。沿坐标轴正向为正，负向为负，这三个投影称为该点的位移分量。D泊松比(Poisson’sRatio)横向应变与纵向应变比值的负值称为泊松比。长度拉长（△l0）的同时要变细（△d0），所以前边加负号，以使ν为正值。lldd纵向应变横向应变3.平衡微分方程为研究物体的平衡问题，取一小的平行六面微分体进行研究，其受力情况见图2.5。其六个面垂直于各轴，棱边的长度分别为dx，dy，dz。作用在前后两面上的应力相差是，其余类推。作用在微分六面体上的体积力为：Xdxdydz，Ydxdydz，Zdxdydz。dxxxx因为六面体是微小的，可以认为作用在这些面上的应力是均匀分布的。处于平衡状态时，六面微分体应满足六个静力平衡方程：力矩平衡力平衡0xM0yM0zM0xF0yF0zF应用力矩平衡条件，以连接六面体前后两面中心的直线ab为力矩轴，这力矩轴与X轴平行，于是有，即，说明所有力在x方向上的力矩之和为0。经分析知：平行的力矩为零，只剩下四项，见图2.6。0abM0xM02222dzdxdydzdxdydzzdydxdzdydxdzdyzyzyzyyzyyzyz其中（）很小略去，所以。同理：由得：；由得：。可得出切应力互等定律：（2-1）02121dzzdyyzyyzzyyzdzzdyyzyyz2121zyyz0yM0zMxzzxyxxyzyyzxzzxyxxy各项同除以小体积dxdydz，得：0212121212121zyzyzyyzyzyzdzzdyy应用力平衡条件，把所有的力都投影到x轴上，其和为零，见图2.7（只有平行于x轴的力才有投影）。0xF0Xdxdydzdxdydxdydzzdxdzdxdzdyydydzdydzdxxzxzxzxyxyxyxxxxxxx展开得：0Xdxdydzdxdydzzdxdydzydxdydzxzxyxxx除以dxdydz得：同理可得另外两个：0Xzyxzxyxxx0Yxzyxyzyyy0Zyxzyzzyzz由此可得物体处于静止时的平衡微分方程，即纳维叶方程。（2-2）0Xzyxzxyxxx0Yxzyxyzyyy0Zyxzyzxzzz如果物体内质点处于运动状态，则式（2-2）≠0，还必须考虑惯性力(InertialForce)。根据牛顿第二运动定律：F=ma，这个惯性力等于六面微分体的质量ρdxdydz与其加速度在坐标轴上投影的乘积。用ux、uy、uz分别表示晶体中任一点在X、Y、Z轴方向上的位移分量，则沿各轴方向的加速度为：222222,,tututuzyx在惯性力作用下，平衡时的微分方程为：（2-3）22tuXzyxxzxyxxx22tuYxzyyxyzyyy22tuZyxzzyzxzzz4.应变与位移的关系材料变形时，其中某一点P（x，y，z）移动到点Pˊ（xˊ，yˊ，zˊ），见图2.8。P→P′点：xuxxyuyyzuzzux、uy、uz为在三个坐标轴上的位移分量。位移是坐标的函数，因变形在很小范围内即在弹性范围内，这种函数关系呈线性，但有多个系数eij，这种关系如下：（2-4）zeyexeuxzxyxxxzeyexeuyzyyyxyzeyexeuzzzyzxz现在讨论式中eij。把它看成平面问题，假设有一小块材料由原状态ABCD变为变形后的状态A′B′C′D′，见图2.9。由A移到A′，分量为ux、uy，用（2-4）式中的前两个方程，并对其进行偏微分得：xxxexuyyyeyuxyxeyuyxyexu因为所以图2.9中ABCD变为A′B′C′D′后，沿着X轴正向的正应变为：这里(A′B′)x为A′B′在X轴上的投影。正应变原长变化了的长度xxxxxxxexudxdxdxxuuudxABABBA''同理：沿Y轴正向的正应变为：由平面推到三维，正应变与位移的关系如下：（2-5）yyyyyyyeyudydydyyuuudyACACCA''xxxxxexuyyyyyeyuzzzzzezu变形后不仅有伸长和缩短这种正应变，而且角度也会改变，其角度改变量称为角应变或切应变，工程上定义：工程切应变=正交轴的角度改变之和(θ1+θ2)，用γ表示。AB与AC夹角为π/2，A′B′与A′C′夹角改变了γ。（与1比较是很小的，可忽略不计。）221xyxyxyxyyyxxxeyuyuyudydyyudyyuudydyyuuudyyuutg2121tgtgyuy同理：所以，工程切应变在三维情况下，角应变与位移的关系如下：（2-6）yxyexutg11xuyueeyxyxxy21yxxyyxxyeexuyuzyyzzyyzeeyuzuxzzxxzzxeezuxu应变与位移关系如下：正应变：（2-7）xxxxxxxexuxuxu21yyyyyyyeyuyuyu21zzzzzzzezuzuzu21切应变：（2-8）εxy、εzy、εxz是各自平面里的角改变量的1/2，称为切应变，并且εxy=εyx，εzy=εyz，εxz=εzx，即切应变分量是对称的。yxxyyxyxxyeexuyu2121zyyzyzzyyzeezuyu2121xzzxxzzxzxeezuxu21215.应力与应变的关系设弹性体为均匀各向同性，当σσe时，符合胡克(Hooke)定律：用σ表示ε：（2-9）zzyyxxxxE1zzxxyyyyE1yyxxzzzzE1xyxy21xzxz21yzyz21用ε表示σ：（2-10）xxzzyyxxxx2yyzzyyxxyy2zzzzyyxxzz2xyxy2xzxz2yzyz2式中E—弹性模量；μ—切变模量；ν—泊松比。（2-11）)1(2E)21(2)21)(1(E6.用位移分量表示平衡方程在静力平衡条件下，不考虑体积力时，由（2-2）式可得：（2-12）将（2-10）式代入（2-12）式中第一式得：0zyxzxyxxx0xzyxyzyyy0yxzyzxzzz令，并将（2-7）和（2-8）式代入得：0222xzxyzzyyxxxxzyxzzyyxx02122122xuzuzxuyuyxuxzxyxx0222222222xzuzuxyuyuxxuzxyxxzzyyxxzyxxzuyuxuxxuzyx0222222引入哈密尔顿算子▽：将代入上式得：2222222zyx02xxux02xux21202112xux同理可得另外两式，最终有用位移分量表示的平衡方程为：（2-13）02112xux02112yuy02112zuz其中：2222222zyxzzyyxx2.2直刃型位错的应力场采用弹性连续介质模型来进行计算。首先假设晶体是完全弹性体，服从胡克定律；其次，把晶体看成是各向同性的；第三，近似地认为晶体内部由连续介质构成，晶体中没有空隙，因此晶体中的应力、应变、位移等量是连续的，可用连续函数表示。1.应力场模型(StressFieldMode)刃型位错的连续弹性介质模型如图2.10所示。在半径为R的弹性圆柱体中心挖一个半径为ro的小孔，沿着轴线方向将其一半切开，使切面两侧沿径向（x轴方向）相对