高三数学平面向量一轮复习资料

纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行1向量一．知识清单向量有关概念1．有向线段：叫做有向线段，它包含三个要素2．向量：叫做向量3．向量的长度（或模）：就是此向量的长度4．向量的表示：表示向量，如ABa或5．零向量：叫做零向量，记作06．单位向量：叫做单位向量7．平行向量：叫做平行向量（也叫做共线向量）。如向量a与b平行（或共线），记作//ab8．相等向量：叫做相等向量。如果向量a与b相等，记作a=b二．基础训练1．在下列各命题中，真命题为（）A两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同B模为0的向量与任一向量平行C向量就是有向线段Da=b是ab的必要不充分条件2．下列命题中，假命题是（）A向量AB与向量BA长度相等B两个相等向量若起点相同，则终点必相同C只有零向量的模等于0D共线的单位向量相等3．已知下列命题：①a=b,b=c,则a=c;②若a//b,b//c则a//c；③若a=b,则a//b;④若a//b,则a=b.其中命题正确的序号是（）A①③B②③C④③D①②4．在四边形ABCD中，ABDC，且ABAD，则四边形ABCD是5．如图，D、E、F分别是ABC的三边BC、CA和AB的中点，试写出：（1）与EF平行的向量；（2）与EF相等的向量；ABCDEF纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行2三．强化训练1．下列说法正确的是（）A方向相同或相反的向量是平行向量B零向量的长度是0C长度相等的向量叫相等向量D共线向量是在一条直线上的向量2．下列命题中，真命题的个数为（）①若ab，则a=b或a=b②若ABDC，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点③若a=b，bc，则a=c④若//ab，//bc，则//acA4B3C2D13．下列命题，正确的是（）AababBababC//ababD00aa4．如图，ABCD是边厂为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC平行且长度为22的向量个数是ABCD纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行3向量的加法与减法一．知识清单1．向量加法的定义已知向量a、b，在平面内任取一点A作ABa，BCb，则向量叫做a与b的和，记作，既a+b==AC，如图求两个向量和的运算，叫做。对于零向量与任一向量a，任然有0+a=a+0=。向量加法有法则与法则。（1）向量加法的三角形法则根据向量加法的定义求向量的方法，叫向量加法的三角形法则，使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，具体做法是：把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与前一个向量的终点重合，既用同一个字母来表示），则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。如a=AB,b=BC,c=CD则a+b+c=ABBCCDAD。（2）向量加法的平行四边形法则向量加法还可以用平行四边形法则：先把两个已知向量的起点到同一点，再以这两个已知向量为作平行四边形，则就是这两个已知向量的和。以点A为起点作向量ABa,ADb,以AB、AD为邻边作ABCD。则以A为起点的对角线AC就是a与b的和，记作a+b=AC向量的加法满足交换律、结合律（1）交换律：。（2）结合律：。以上运算对多个向量也是成立的2．向量的减法1．相反向量：与a的向量，叫做a的相反向量，记作。零向量的相反向量仍是。2．向量的减法：向量a加上向量b的，叫做a与b的差，记作：a-b。求两个向量差的运算，叫做。已知a、b，如图，在平面内任取一点O，作OAa，OBb,则=a-b,既a-b可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，如图。（1）-(-a)=a;（2）a+(-a)=(-a)+a=0（3）a、b为相反向量，则a=-b,b=-a,a+b=0;（4）差向量是由减向量的终点指向被减向量的终点。3．两个向量的和与差仍是二．基础训练1．化简以下各式：（1）ABBCCA；（2）ABACBDCD；（3）OAODAD（4）NQQPMNMP，结果为零向量的个数是（）A1B2C3D42．已知8,5ABAC，则BC的取值范围是3．在如图所示的四边形ABCD中，设ABa，ADb，则DCa+bababababa+bOAABCDB纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行4等于4．设a、b是非零向量，则“abab”成立的充要条件是（）Aa、b方向相同Ba、b方向相反Ca=bDab5．在矩形ABCD中，3AB，1BC，则向量（ABADAC）的长度等于6．如图M是线段AB的中点，求证：对于任意一点O，1()2OMOAOB成立。7．在平行四边形ABCD中，若ABADABAD，则必有（）A0ADB00ABAD或CABCD是矩形DABCD是正方形三．强化训练1．在四边形ABCD中，ACABAD，试判断四边形的形状2．如图，在四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）AABDCBADABACCABADBDD0ADCB3．在ABCD中，ABa，ADb，AN3NC，M为BC的中点，则MN（用a，b表示）。4．如图所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量CD等于（）A12BCBAB12BCBAC12BCBAD12BCBA5．给出下列命题：（1）若向a与b平行，则a与b方向相反或者相同；（2）ABC中，必有0ABBCCA；（3）四边形ABCD是平行四边形的充要条件是ABDC；（4）若非零向量a与b的方向相同或相反，则a+a-b与a、b之一方向相同。其中正确的是（）A（1）（2）B（3）（4）C（1）（4）D（2）（3）AMBOABCDABDC纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行5实数与向量的积一．知识清单1.实数与向量的积的定义实数与向量a的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）；（2）当0时，a的方向与a的方向；当0时，a的方向与a的方向；0时，a=。2.实数与向量的积的运算律：设R，则（1）()a；（2）()a=；（3）（a+b）=；3．两个向量共线的充要条件向量b与非零向量a共线的充要条件是，使得b=a4.平面向量基本定理如果12,ee是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，，使得1122aee5．基底用来表示某一平面内任一向量的一对不共线的向量，叫做。6．三点共线的充要条件,OAOB不共线，三点A、B、P共线的充要条件是()APtABtR二．基础训练1．已知a=12ee,b=122ee,则向量a+2b与2a-b（）A一定共线B一定不共线C仅当12ee与共线时共线D以上均不成立2．在ABCD中，AC与BD交于点M，若设ABa，ADb，则下列选项中与12a+12b相等的向量是（）AMABMBCMCDMD3．设四边形ABCD中，有12DCAB，且ADBC，则这个四边形是（）A平行四边形B矩形C等腰梯形D菱形4．已知向量12,ee不共线，实数x,y满足1212(34)(23)63xyexyeee，则x-y的值纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行6等于（）A3B-3C0D25．若M是ABC的重心，则下列各向量中与AB共线的是（）AABBCACBAMMBBCCAMBMCMD3AMAC6．若3a，b与a的方向相反，且5b，则a=b7．已知向量12,ee不共线（1）若12ABee，1228BCee，1233CDee，求证A、B、D三点共线；（2）向量12ee与12ee共线，求实数的值三．强化训练1．已知向量a、b且ABa+2b，BC5a+6b，CD7a2b，则一定共线的三点是（）AA、B、DBA、B、CCC、B、DDA、C、D2．如图D是ABC的边AB上的中点，则向量CD（）A12BCBAB12BCBAC12BCBAD12BCBA3．如图，在ABC中，OAa，OBb,M为OB的中点，N为AB的中点，P为ON、AM的交点，则AP等（）A23a13bB23a13bC13a23bD13a23b4．如图所示），已知43APAB，用OA、OB表示OP，则OP等于（）A1433OAOBB1433OAOBC1433OAOBD1433OAOBBCDAAOMNPBOBAP纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行7平面向量的数量积及运算率一．知识清单１．向量a与b的夹角两个非零向量a和b，作OAa，OBb，则(0180)AOB叫做当0时,a与b；当180时,a与b。２．向量a与b垂直如果a与b的夹角是90，叫做，记作ab３．向量a与b的数量积两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量cosab，叫做，记作ab，既ab＝。规定：零向量与任一向量的数量积为０。两个向量的数量积是一个量，这个量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。４．向量b在a方向上的投影若向量a与b的夹角是，则叫做向量b在a方向上的投影。当为角时，它是正值；当为角时，它是负值；当时，它是０；当时，它是b；当时，它是b。二．基础训练１．已知3b，a在b方向上的投影是32，则ab为２．在边长为２的等边三角形ABC中，ABBC的值是３．已知6a，a与b的夹角为3，且（a＋２b）（a－３b）＝72，则b为４．设a、b是夹角为60的单位向量，则２a＋b和３a－２b的夹角为５．若20ABBCAB，则三角形为三角形。６．设a＝b＝3ab，则ab＝７．若向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，且3a，b＝１，c＝４，则ab＋bc＋ca＝纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行8三．强化训练１．已知向量a与b的夹角为120，3a，13ab，则b等于２．已知向量a、b满足1a，b＝４，且ab＝２，则a与b的夹角为３．若a与b－c都是非零向量，则“ab＝ac”是“a（b－c）”的（）Ａ充分而不必要条件Ｂ必要而不充分条件Ｃ充分必要条件Ｄ既不充分也不必要条件４．已知非零向量AB与AC满足0ABACBCABAC且12ABACABAC，则三角形ABC为（）Ａ三边不相等的三角形Ｂ直角三角形Ｃ等腰非等边三角形Ｄ等边三角形５．如图所示，已知正六边形123456PPPPPP，下列向量的数量积最大的是（）Ａ1213PPPPＢ1214PPPPＣ1215PPPPＤ1216PPPP1P2P3P1P6P4P5P纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行9平面向量的坐标运算一．知识清单１．向量的坐标运算在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴i、j作为基底，对于任一向量a，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj，我们把,xy叫做向量a的（直角）坐标，记作a=,xy，其中x叫做，y叫做。２．平面向量的坐标运算设a=11,xy，b＝22,xy，则（１）a＋b＝；（２）a－b＝；（３）a＝；３．向量平行的坐标表示设向量a＝11,xy，b＝22,xy，且b０，则a//b的充要条件是４．向量的坐标与点的坐标间的关系（１）若点Ａ的坐标为Ａ,xy，则向量OA的坐标为OA＝,xy。其中Ｏ为原点，也就是说，点Ａ的坐标等于。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用唯一表示。（２）若点Ａ11,xy，Ｂ22,xy，则AB＝，既一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的的坐标减去的坐标。二．基础训练１．a＝2,3，b＝1,5，则３a＋b＝２．已知Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线，且Ａ3,6，Ｂ5,2，若Ｃ点的横坐标为６，则Ｃ点的纵坐标是３．设向量a＝1,3，b＝2,4，c＝1,2，若表示向量４a、４b－２c、２(ac)、纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行10d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d的坐标为４．已知a＝1,1，b＝2,y，且２a＋２b与a－２b平行，则y等于５．设a＝3,sin2