矩阵及其运算课件

第二章矩阵及其运算矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧。§2.2逆矩阵§2.1矩阵的概念及运算§2.3矩阵的分块第一节矩阵的概念1.定义由m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的数表111212122212.....................nnmmmnaaaaaaaaa称m行n列矩阵，简称m×n矩阵。记作111212122212.....................nnmmmnaaaaaaaaaA一、概念：这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元。以数aij为(i,j)元的矩阵可简记作(aij)或(aij)m×n，m×n矩阵A也记作Am×n。元素是实数的矩阵，称为实矩阵；元素是复数的矩阵称为复矩阵。行数与列数都等于n的矩阵称之为n阶方阵，记作An。2.行矩阵、列矩阵与方阵只有一行的矩阵称行矩阵，又称行向量。只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。行数与列数都等于n的矩阵叫方阵，记为An。3.同型矩阵与矩阵相等:如果两个矩阵的行数相等、列数也相等，就称它们是同型矩阵。如果两个同型矩阵的对应元素相等，那么就称这两个矩阵相等。记作：A=B4.零矩阵:元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。不同型的零矩阵是不相等的。5.对角矩阵、单位矩阵与数量矩阵如果n阶方阵除主对角线上的元素不全为零外，其余元素全为零，这样的n阶方阵称为对角矩阵。记作A=diag(λ1,λ2,…,λn)如果n阶方阵如果满足主对角线上的元素全为1，其余元素全为零，这样的n阶矩阵称为n阶单位矩阵。记作En或E。如果n阶方阵主对角线上的元素全为k，其余元素全为零，这样的n阶矩阵称为n阶数量矩阵。二、矩阵的运算1.矩阵的加法:设有两个同型的m×n阶矩阵A=(aij)、B=(bij)，则矩阵A与B的和记为A+B，并规定111112121121212222221122.....................nnnnmmmmmnmnabababababababababAB注：矩阵的加法只能在两个同型矩阵之间进行；两个矩阵相加时，对应元素进行相加。矩阵加法的运算律：☞(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)设矩阵A=(aij)，记A=(aij)，称A为矩阵A的负矩阵。由矩阵加法的定义，显然有A+(A)=O，由此，矩阵的减法可定义为ＡB=Ａ+(B)2.矩阵的数乘：数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或Aλ，并规定：111212122212.....................nnmmmnaaaaaaaaaA由此可见，矩阵的数乘仍然是一个与原矩阵同型的矩阵，并且，是用数λ与矩阵的每一个元素相乘。矩阵数乘的运算律：矩阵的加法与数乘合起来通称为矩阵的线性运算。3.矩阵的乘法：设矩阵A为m×n阶矩阵、矩阵B为n×p阶矩阵，A=(aij)m×n、B=(bij)n×p，则矩阵A与B的乘积为一m×p阶矩阵C=(cij)m×p，记C=AB，且(1)()()(2)()(3)()AAAAAABAB☞11..........................................jiinijnjbaacb112211,2,,()1,2,,ijijijinnjnikkjkcabababimabjp就是说，矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的所有元素与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和。☞(1)()()(2)()()()(3)()()(4)mmnmnmnnmnABCABCABABABABCABACBCABACAEAAAEA☞矩阵A与矩阵B做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等；☞矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；☞AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，也不一定相等；☞AB=O不一定有A=O或B=O；A(XY)=O且A≠O也不可能一定有X=Y111111112222.ABABBAABABBAO0如：显然有：矩阵乘法不满足交换律与结:消去律总只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：(1)AnAm=An+m(2)(An)m=Anm(3)(AB)k≠AkBk()nnnAAAA为正数4.矩阵的乘幂：设A是n阶方阵，定义：5.矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT。如果A是一个m×n阶矩阵，那么AT就是一个n×m阶矩阵。且A的行一定就是AT中同序数的列T141232545636AATTTTTTTTTT(1)()(2)()(3)()(4)()AAABABAAABBA☞证明：设矩阵A为m×s阶矩阵，矩阵B为s×n阶矩阵，那么：(AB)T与BTAT是同型矩阵；又设C=AB，因为CT的第i行第j列的元素正好是C的cji，即cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs而b1i，b2i，…，bsi正好是BT的第i行，aj1,aj2,…,ajs正好是AT的第j列，因此cji是BTAT的第i行第j列的元素。故(AB)T=ATBT6.方阵的行列式由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵A的行列式，记为|A|或detA。注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它们的记号也是不同的。方阵的行列式满足以下运算规律(设A、B为n阶方阵，λ为实数)T(1)||||(2)||||(3)||||||(4)||||nAAAAABABABBA☞2.上(下)三角矩阵：10...00...001...00...0........................00...100...kkkkkE1112111222212212...0...00......0...........................00...nnnnnnnnaaaaaaaaaaaa1.数量矩阵：矩阵kE称为数量矩阵。三、几类特殊的矩阵3.行阶梯矩阵与行最简矩阵：一个m×n阶矩阵A=(aij)它的第i行的第一个非零元素记为,如果当ik时,有jijk时，称A为行阶梯矩阵。若矩阵B满足以下条件(1)B是行阶梯矩阵；(2)B的每一非零行的第一个非零元素为1；(3)每一非零行的第一个非零元素所在的列除它自身外其余元素全为零。称矩阵B为行最简矩阵。iija230015007820000109000000A130015001020000109000000B4.对称矩阵与反对称矩阵：设A为n阶方阵，若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，称矩阵A为对称矩阵；若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，称矩阵A为反对称矩阵。5.正交矩阵：若n阶方阵A满足AAT=ATA=E称A为正交矩阵。6.幂等、幂零、幺幂矩阵：若n阶方阵A满足：A2=A，称A为幂等矩阵Ak=O，称A为幂零矩阵Ak=E，称A为幺幂矩阵7.伴随矩阵：设A=(aij)n×n，矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵11211*1222212.....................nnnnnnAAAAAAAAAA称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊**(det)AAAAAE伴随矩阵有如下重要性质：T11123123nABCABC设，，，求例11123112332...()()...()()...()111123233111123132123331nnnnCCCCABABABABABABBAC而所以：解：TTTTTTTTTT()()nABABABAABABBABBABBAB设、为阶矩阵，且为对称矩阵，证明，仍是对称矩阵。因为，所以证故是对阵：。明称矩例2.TTTTTTTTT()()()nABABABBAABABABABBAAABBABBABAABBAAB设、都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充要条件是是对称矩阵而，又，所以有：故是为对称矩阵证明：的充要条件.例3.TT12TTTTTTTTT2T2TT2TT(,,...,)2(2)(2)2(2)44()44()(4nxxxnXXXEHEXXHHHEHEXXEXXEXXHHHHEXXEXXXXEXXXX设列矩阵满足=1,为阶单位矩阵，,证明是对称：矩证阵，且=明例.TTTTTT)44()44XXEXXXXXXEXXXXE第二节逆矩阵设对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得AB=BA=E恒成立，则称矩阵A可逆；B称为A的逆矩阵，记为A－1=B。1.若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。证明：设A有两个逆矩阵B1、B2，则B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2一、可逆矩阵的定义二、可逆矩阵的判断2.若|A|≠0，则A可逆，且1*1121111121*122222122212121..........................................nnnnnnnnnnnnijijaaaaaaaaaaAAAAAAAAAAAAAAAA其中是矩阵的元素的代数余子式。证明：由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又|A|≠0**1*111()():||||||AAAAEAAAAA故3.对于n阶方阵A、B若有AB=E则：A、B均可逆，且它们互为可逆矩阵。证明：∵AB=E∴|A||B|=1故|A|≠0且|B|≠0，A、B均可逆，且A－1=B1.若A可逆，则|A|≠0证明：∵A可逆∴AA－1=A－1A=E故|A||A－1|=1，即|A|≠0同时还有11||||AA三、可逆矩阵的性质奇异矩阵与非奇异矩阵：若n方阵Ａ的行列式|A|≠0，称矩阵A为非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。2.如果A、B均可逆，那么AT与AB都可逆，且(AT)－1＝(A－1)T(AB)－1＝B－1A－1证明：∵A、B均可逆∴AA－1=A－1A＝E故(AA－1)T=(A－1)TAT＝ET=E∴(AT)－1=(A－1)T同理(AB)(B－1A－1)＝(B－1A－1)(AB)＝E∴(AＢ)－1=Ｂ－1A－111111.......01...11nnnnaaaaaaAABABBAEAB设且，求：且　所以　例有解：1*1*31.022160311136102.2AAAAAAA例解：设，求，　1*1*1234012300120001121001211001200011231010121001201.00AAAAAAA设，求：，例解：所以　1212121212()...()...(...()(...4..(..kkkkkkk