6 矩阵论复习(15版本)

洪璇[e-mail]矩阵分析引论矩阵分析知识点第一部分：引入矩阵基、坐标、过渡矩阵、线性空间、欧式空间、线性变换、正交变换、标准正交基、子空间第二部分：简化矩阵Smith标准型、行列式因子、初级因子、不变因子、最小多项式、Jordan标准型、有理分式标准型QR分解、奇异值分解第三部分：矩阵运算范数、极限、微分、积分、幂级数、矩阵函数第四部分：矩阵应用特征值估计、广义逆、线性方程组的求解、微分方程组的求解1.线性空间与线性变换线性空间基变换、坐标变换子空间、维数定理线性空间的同构线性变换线性变换的矩阵不变子空间3基本内容1.设P是包含0和1在内的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域。2.线性空间。（习题1.1）设V是一个非空的集合，P是一个数域，在集合V上定义两种代数运算,一种是加法运算,用+来表示；另一种是数乘运算。并且这两种运算满足下列八条运算律4基本内容3.线性空间V中线性无关向量的最大个数n称为V的维数，记为dim(V)=n；V中任意n个线性无关向量称为V的一组基.（习题1.3）4.如果是线性空间V中的n个线性无关向量，且V中任一向量都可由其线性表示，则是V的一组基且dim(V)=n.5.设是线性空间V的基,则向量α在这组基下的坐标是如下线性组合的系数向量:（习题1.4）5n,,,21n,,,21n,,,21Tnxxx),,,(21.2211nnxxx基本内容6.基变换（习题1.5）7.坐标变换6基本内容8.线性变换T:VV且T(k+l)=kT()+lT()9.线性变换的运算（习题1.15）加法，数乘，乘法，逆，多项式.7基本内容10.核和像（习题1.17,1.18）11.线性变换矩阵（习题1.19,1.20,1.21）8ATTTTnnn),())(),(),((),(212121一、判断某集合是否构成P上的线性空间9二、求已知向量在某组基下的坐标104三、两组不同基下的过渡矩阵1112513四、子空间概念678910111214五、线性变换相关概念——从定义出发1516六、求线性变换的矩阵191720182.内积空间内积空间正交基与子空间的正交关系内积空间的同构正交变换点到子空间的距离与最小二乘法复内积空间正规矩阵19数域R，C线性空间Rn，Cn向量与向量空间与向量向量与基基与基空间与子空间空间与空间V与V线性变换与基线性变换与线性空间内积空间长度正交C-S不等式三角不等式最小二乘解实对称厄米特矩阵正交矩阵酉矩阵正规矩阵基本内容1.内积：（习题2.1）21;),(),();,(),(),();,(),(kk;00),;0),(（基本内容2.若干不等式22基本内容3.正交。（习题2.3）4.标准正交基。在n维内积空间中，由n个正交向量组成的基称为正交基。由n个标准正交向量组成的基称为标准正交基。（习题2.6，2.7）2324设及是n维欧氏空间V的两个标准正交基，从前一个基到后一个基的过渡矩阵为A，即n,...1n,...1Ann),...(),...(11EAAT基本内容5.Schmidt正交化与单位化过程25sssssssss,),(),(,),(,11112221122211111基本内容6.正交变换T：保持向量的内积不变（习题2.9,2.10）261.T是正交变换2.T保持向量的长度不变，3.若是V的标准正交基，则也是V的标准正交基.4.T在V的任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵V|,||T|12,,,nnTT...,,T21基本内容7.酉变换（1）T是酉变换；（2）（3）T将V的标准正交基底变成标准正交基底；（4）T在标准正交基下的矩阵表示为酉矩阵。27V,)(基本内容8.几种矩阵（习题2.12,2.13,2.16,2.17,2.18）28酉相似1,,nnHABUUAUUAUBABC设若存在酉矩阵使得则称与酉相似.同构1.V与V’同构，2.30.VV()()(),,V,,kkkPV子空间1.设V是线性空间，W是V的非空子集，则W是V的子空间的充分必要条件是2.任意有限维线性空间V，必有两个平凡子空间，即｛0｝与V。31WkWPk,,,3.扩基定理4.设是线性空间V的一组向量，则W是V的子空间.32s,,21},|{),,(221121PkkkkLWisss5.设V1和V2是线性空间V的两个子空间，则和是V的子空间.6.如果V1和V2是线性空间V的两个有限维子空间,则7.设V1和V2为线性空间V的两个子空间，若和中每个向量α的分解式是唯一的。和就称为直和3321VV21VV)(dim)(dim)(dim)(dim212121VVVVVV21VV21VV直和的判别法(1)中任意向量的分解式唯一；21VV};0{21VV(3)).dim()dim()dim(2121VVVV(4)(2)中零向量的表法唯一；21VV8.子空间V1与V2正交，记为。9.α与子空间V1正交，记为。10.若V1与V2正交，则和是直和。11.正交补满足条件：12.习题1.7,1.8,1.9,1.10,1.11,2.8351V21VV21VV,21VVVVV21nVV11dimdim一、证明欧式空间——从定义出发363711212211131323312112211111111,,,,,,,,,,rrrrrrrr容易验证是一个正交向量组12,,,r第一步正交化二、求标准正交基38显然是一个标准的正交向量组。121212,,,rrr12,,,r第二步单位化391121221113132331211221,1,0,0,11,,1,0,22,,111,,,1,,3331231,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1化为标准正交向量组。解：先正交化练习运用正交化与单位化过程将向量组4011122233311,,0,022112,,,06661113,,,23232323那么即为所求的标准正交向量组。123,,再单位化4142三、判断：线性变换、正交变换43444546四、酉矩阵、正规矩阵、厄米特矩阵…4748495051523.矩阵的标准形矩阵的相似对角形矩阵的约当标准形哈密顿-开莱定理矩阵的最小多项式多项式矩阵与史密斯标准形多项式矩阵的互质性和即约性有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解舒尔定理及矩阵的QR分解矩阵的奇异值分解53多项式矩阵1.特征多项式2.行列式因子：中所有非零k级子式的首项系数为1的最低公因式称为的一个k级行列式因子3.不变因子4.初级因子54,0nnnnnAIAAIAAIAAC设称为的特征矩阵，称det为的特征多项式,称det为的特征方程。)(A)(A)(kD01()()(()1)()kkkDdDD11det1nnnnnAnAIADIAnmDC设,,又设是的阶行列式因子，则5.零化多项式6.Hamilton-Cayley定理7.最小多项式550,nnAffAfAC设,是多项式，如果则称为的零化多项式。det,0nnnAIAAC设,则.nnAAAAmC设,在的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为的最小多项式，记为多项式矩阵的Simith标准型定理3-10.任意一个非零的多项式矩阵都等价于下列形式的矩阵（经过矩阵的初等变换实现）称它为A(λ)的Smith标准型，其中r≥1，di(λ)(i=1,2,…,r)是首项系数为1的多项式，且di(λ)|di+1(λ)(i=1,2,…,r-1)。12()()()00rddd（习题3.2，3.5，3.8，3.9，3.10，3.13）公因子最大公因子（gcd）57.)()()(,0)(,)()(0)()()()(:.,)()()()(gcrdsNsDsRsRsNsDsRsNsDsUsNsDppppqpqppqpp的一个和即为则变成形如进行一系列行初等变换即对求法则可以定义右公因子列数相同和若单模矩阵左互质右互质580)()()(),()2(0)()()(),()1(ISmithsBsAsBsAISmithsNsDsDsN形为的左互质形为的右互质既约性（ReducedProperty）2列既约（列化简）多项式矩阵满足下列关系式的非奇异m阶多项式方阵M(s)是列既约多项式矩阵。degdetM(s)=dcjM(s)j=1må1行既约（行化简）多项式矩阵满足下列关系式的非奇异m阶多项式方阵M(s)是行既约多项式矩阵。degdetM(s)=driM(s)i=1må非奇异行次系数矩阵行既约非奇异列次系数矩阵列既约)()()()(hrhcMsMMsM史密斯-麦可米伦型当且仅当秩为r的q×p有理分式矩阵M(s)具有如下形式：其中，⑴{εi(s),φi(s)}为互质，i=1,2,…,r；⑵满足整除性φi+1(s)|φi(s)和εi(s)|εi+1(s)为，i=1,2,…,r-1。则称该M(s)为Smith-McMillan型。M(s)=e1(s)f1(s)e2(s)f2(s)er(s)fr(s)000éëêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúú左分解右分解61则可将M(s)表示为:M(s)=Er(s)Ψr-1(s)rprrrprqrrIssssssssE00)()()()(,000)()()()(21)()(21则可将M(s)表示为:M(s)=Ψl-1(s)El(s)rqrlrprqrlIssssssssE00)()()()(,000)()()()(21)()(21（习题3.16,3.17,3.18）6211*.()()()()(),,,HnnAnAnAUAUUAABAJIAIBABAJBJAB相似矩阵有相同的特征多项式,有相同的特征值有个线性无关特征向量，与对角阵相似阶方阵的特征值为，总存在酉矩阵，使得酉相似于一个上三角阵矩阵的相似关系它们有相同的秩和相同的初等因子组与等价即拥有相同的若当标准型或相似于同一个若当标准型相似矩阵有相同的最小多项式.1的特征值为实数矩阵，则是若、AHermiteA.2特征值为零或纯虚数的则为实反对称矩阵矩阵，若、AA.1||3i的特征值是酉矩阵，则、若AA定理2-8设nnCA´Î，则A是正规矩阵的充要条件是：存在酉矩阵U，使得