第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习1.空间两条直线的位置关系.①相交直线——公共点.②平行直线——在同一平面内,公共点.③异面直线——公共点.2.平行公理:3.异面直线所成角:直线a,b是异面直线,空间任意一点O,作直线a′,b′,并使a′∥a,b′∥b,我们把叫做异面直线a和b所成的角.有且仅有一个没有不同在任何一个平面内,没有平行于同一直线的两条直线互相平行经过直线a′和b′所成的锐角(或直角)第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习4.异面直线的判定:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内直线是异面直线.5.两条异面直线互相垂直:如果两条异面直线所成的角是,我们就说这两条异面直线互相垂直.6.两条异面直线的公垂线及两条异面直线的距离:和两条异面直线都直线,叫做两条异面直线的公垂线,的长度,叫做这两条异面直线的距离.不经过该点的直角垂直相交的公垂线段第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习1.(课本习题改编)判断下列命题的真假①若a⊥b,a⊥c,则b∥c()②a与b是异面直线,a与c是异面直线,则b与c是异面直线()③没有公共点的两条直线是异面直线()④若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线()⑤a∥b,b⊥c,则a⊥c()答案①×②×③×④×⑤√第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习2.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB1、BC1的中点,则以下结论中不成立的是()A.EF与BB1垂直B.EF与BD垂直C.EF与CD异面D.EF与A1C1异面答案D第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习解析如图,取BB1的中点O,连结OE,OF,易知EF与A1C1平行.第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习3.下列命题中正确的是()A.E、F、G、H分别是空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点,则四边形EFGH是平行四边形B.E、F、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、DA的中点,则∠HEF是异面直线AC与BD所成的角C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且一边方向相同,另一边方向相反,则这两个角相等D.若a、b与c所成的角相等,则a∥b答案A第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习4.过正方体ABCD-A1B1C1D1的任意两个顶点的直线中,与AC成60°的异面直线有()A.2条B.3条C.4条D.6条答案C解析有:AD1、CD1、BC1、BA14条,选C.第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习题型一空间线线平行例1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中E、F、M分别是棱A1A、DA、AB中点,求证:平面D1B1C∥平面EFM.第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习【证明】∵A1D1綊BC,∴D1C∥A1B∵E、M分别是A1A、AB中点∴EM∥A1B∴D1C∥EM同理可证:FM∥D1B1∴EM∥平面D1B1C,FM∥平面D1B1C又EM⊂平面EMF,FM⊂平面EMF且EM∩FM=M∴平面EMF∥平面D1B1C第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习探究1平行具有传递性,若证a∥b,可通过第三条直线传递即证a∥m,b∥m,从而a∥b.第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习题型二异面直线的判定例2如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问:(1)AM和CN是否是异面直线?说明理由;(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习【解析】(1)不是异面直线.理由:连接MN,A1C1,AC.∵M,N分别为A1B1,B1C1的中点,∴MN∥A1C1,又∵A1A綊D1D,而D1D綊C1C,∴A1A綊C1C,A1ACC1为平行四边形,∴A1C1∥AC,得到MN∥AC,∴A,M,N,C在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线.第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习(2)是异面直线,证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内,则B∈平面CC1D1,C∈平面CC1D1,∴BC⊂平面CC1D1,这与BC是正方体的棱相矛盾,∴假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习探究2异面直线的判定常有两种方法,一是反证法,二是利用判定定理.第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习思考题1六棱锥P-ABCDEF的12条棱所在直线中共有________对异面直线【答案】24对第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习题型三异面直线所成的角例3如图,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=BC,求异面直线PC与AB所成的角.【解】方法一:过C作CM∥AB,则∠PCM(或其补角)就是异面直线PC与AB所成的角.取CM=AB,连结AM、PM则AM綊BC第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习∵AB⊥BC,∴AM⊥MC∵PA⊥平面ABC,∴MC⊥PM设PA=AB=BC=a,则PM=2a∴tan∠PCM=PMMC=2∴异面直线PC与AB所成的角为arctan2,第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习方法二:取PB、PA、BC的中点D、E、F,连结ED,DF,EF,则ED∥AB,DF∥PC∴∠EDF或其补角是异面直线PC与AB所成的角.设PA=AB=BC=a,则ED=a2,DF=32a,EF=62a,∴cos∠EDF=ED2+DF2-EF22ED·DF=-33∴异面直线PC与AB所成的角为arccos33第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习探究3高考中对异面直线所成角的考查,一般出现在综合题的某一步,其步骤为:①平移:选择适当的点,线段的中点或端点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线.②证明:证明所作的角是异面直线所成的角.③寻找:在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,并解之.④取舍:因为异面直线所成角θ的取值范围是0°<θ≤90°,所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角.第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习思考题2(09·上海)如图,若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD1与AD所成角的正切值是______.【答案】5第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习题型四异面直线的公垂线例4如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC,D、E分别为BB1、AC1的中点.证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线.第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习【解析】设O为AC中点,连接EO,BO,则EO綊12C1C,又C1C綊B1B,所以EO綊DB,EOBD为平行四边形,ED∥OB.∵AB=BC,∴BO⊥AC.又平面ABC⊥平面ACC1A1,BO⊂平面ABC,故BO⊥平面ACC1A1,∴ED⊥平面ACC1A1,ED⊥AC1,ED⊥CC1,∴ED⊥BB1,ED为异面直线AC1与BB1的公垂线.第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习探究4求异面直线间的距离时,关键是寻找与两异面直线垂直相交的直线,即公垂线,然后把公垂线段放在一个三角形内求解.第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习思考题3如图,空间四边形ABCD的各边及对角线的长均为a,M、N分别是对角线BD、AC的中点.(1)求证:MNAB;(2)求BD、AC之间的距离.第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习【证明】(1)在AD边上取其中点P,连接MP、NP,根据题意,有MP∥AB且MP=12AB,NP∥CD且NP=12CD.又AB=CD,∴MP+NP=12AB+12CD=AB.又在△MPN中,MNMP+NP=AB,故NMAB.第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习(2)如右图所示,连接BN、DN.∵△ABC、△ADC均为等边三角形,∴BN=DN.又M为BD的中点,故MN⊥BD.同理MN⊥AC.又MN与AC、BD相交于点N、M,∴MN是AC、BD的公垂线.由题设知,BN=32a,BM=12a.∴MN=BN2-BM2=32a2-12a2=22a,即BD、AC间的距离为22a.第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习1.空间两直线的位置关系高考中考查最多的是异面直线及异面直线所成的角.2.解决异面直线问题的基本方法是平移法.3.异面直线的公垂线有且只有一条,但与两条异面直线都垂直的直线无数条,它们都与公垂线平行.第十章直线、平面、简单几何体(A)大纲版·数学《高考调研》高考总复习