数正方形的个数

数正方形的个数【摘要】数学建模是应用知识从实际课题中抽象提炼出数学模型的过程，本文利用建模的方法，对一个图形中长、宽方格个数与正方形个数之间的关系进行分析，做成相应对应关系表，运用数列最后找出当长为m个方格宽为n个方格时，正方形的个数为：m×n＋(m-1)(n-1)+……+[m-(n-1)]×1(m,n为自然数m＞n)。【关键词】数学建模正方形个数【正文】一、提出问题一天，我在做数学应用题“数正方形”，我心想：天啊，这么多的正方形我要数到什么时候，万一数错了还得重来！于是我就想，有没有什么较简单的方法或技巧呢？或许能找到什么规律，使这项工作做得又快以准确？二、分析问题带着上面疑问我开始了分析：我以一个长7格宽5格的图形为例来进行统计和分析。首先我想到一组邻边上的任意两条线段不是都能构成正方形的，而只有那些长度相等的两条线段才能构成正方形，由此推及到本例，有如下几种情形：根据图①正方形个数有5×7个。根据图②正方形个数有4×6个。根据图③正方形个数3×5个。根据图④正方形个数2×4个。根据图⑤正方形个数1×3个。这样，在长7格宽5格的图形中，正方形的个数是：5×7+4×6+3×5+2×4+1×3。仔细观察数字变化规律，不难发现，正方形个数可以写成如下方式：5×7+（5-1）×（7-1）+（5-2）×（7-2）+（5-3）×（7-3）+（5-4）×（7-4）。那么，是不是所有的数方形的实例中，都有类似的情形呢？我将不同的长宽图形中正方形的个数统计列成下表：图形正方形算式22×1=233×1=3623×2+2×1=8834×2+3×1=1112624×3+3×2+2×1=2015835×3+4×2+3×1=26三、模型的建立情况正如我猜想的那样，在一个由小正方形组成的长方形中，设长为m格宽为n格,那么正方形的个数为N（其中m、n，为自然数，且m＞n）：1)]1([)1)(1(nmnmmnN并且由此可以推想到，当m=n时，即在边长为m个方格的正方形图形中，计算正方形的个数公式可以写成：1)1(22mmN【结论】经过这次研究，我发现了在一个由小正方形组成的长方形中，设长为m格宽为n格，正方形的个数为：1)]1([)1)(1(nmnmmnN(m,n为自然数m＞n)【参考文献】百度百科：