高三一轮复习两直线的位置关系

第八章平面解析几何第2课时两直线的位置关系栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．两条直线平行与垂直的判定如何判定两直线平行与垂直？提示：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1温馨提醒：两条直线平行、垂直的充要条件是有大前提的,就是两条直线都有斜率．当直线无斜率时，要单独考虑.栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关2．两直线相交交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有________，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组________；重合⇔方程组有______________．唯一解无解无数组解栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关3．三种距离公式(1)点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离：|AB|＝________________________．(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝____________________________．(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d＝_________________________．（x2－x1）2＋（y2－y1）2|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B2栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关温馨提醒：在运用两平行直线间的距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2时，一定要注意将两方程化为x，y的系数分别相等的一般式才可应用该公式．栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．点(0，－1)到直线x＋2y＝3的距离为()A.55B．5C．5D.15B栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关2．(2014·四川成都诊断性检测)若直线(a＋1)x＋2y＝0与直线x－ay＝1互相垂直，则实数a的值等于()A．－1B．0C．1D．23．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为()A．6B.2C．2D．不能确定CB栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关4．直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上,则C的值为________．5．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2间的距离是2，则直线l1的方程为_________________________.x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0－4栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(1)“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2014·河北保定调研)与直线x＋4y－4＝0垂直，且与抛物线y＝2x2相切的直线方程为_______________．两直线的平行与垂直[课堂笔记]C4x－y－2＝0栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解析】(1)a＝2时，两直线平行；但两直线平行时，a＝2或者a＝－1.故“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”的充分不必要条件．(2)所求直线与直线x＋4y－4＝0垂直，故所求直线斜率为4.由题意知：y′＝4x＝4，∴x＝1，从而y＝2，即切点为(1，2)，故所求直线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0.②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关1．记直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直时m的取值集合为M，直线x＋ny＋3＝0与直线nx＋4y＋6＝0平行时n的取值集合为N，则M∪N＝________．－2，12栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解析】当直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直时，m满足(m＋2)(m－2)＋3m·(m＋2)＝0，解得m＝12或m＝－2，故M＝－2，12；直线x＋ny＋3＝0与直线nx＋4y＋6＝0平行，当n＝0时，显然两直线不平行；当n≠0时，两直线平行的充要条件是1n＝n4≠36，即n＝－2，所以N＝{－2}．故M∪N＝－2，12.栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．[课堂笔记]两条直线的交点栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】法一：由方程组x－2y＋4＝0x＋y－2＝0，得x＝0y＝2，即P(0，2)．∵l⊥l3，∴kl＝－43，∴直线l的方程为y－2＝－43x，即4x＋3y－6＝0.法二：∵直线l过直线l1和l2的交点，∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.∵l与l3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(1)两直线交点的求法：求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．(2)常见的三大直线系方程：①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．③过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关2.如图，设一直线过点(－1，1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】与l1，l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过点(－1，1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)×1－2－λ＝0.解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为5，求直线l1的方程．距离公式[课堂笔记]栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】∵l1∥l2，∴m2＝8m≠n－1，∴m＝4n≠－2或m＝－4，n≠2.(1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，∴|n＋2|16＋64＝5，解得n＝－22或n＝18.故所求直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.(2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为4x－8y－2＝0，∴|－n＋2|16＋64＝5，解得n＝－18或n＝22.故所求直线l1的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关距离的求法：(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关3．已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为()A．4B．3C．2D．1A栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解析】设C(x，y)．由题意知直线AB为：x＋y－2＝0，|AB|＝22，则点C到直线AB的距离为d＝|x＋y－2|2.又因为点C在y＝x2上，所以d＝|x＋x2－2|2.令S△ABC＝12×22×|x＋x2－2|2＝2，解得x＝0，－1，－1－172，－1＋172.所以满足条件的点有4个．栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关对称问题已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．[课堂笔记]栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关【解】(1)设A′(x，y)，由已知y＋2x＋1×23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝413.∴A′－3313，413.(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设M′(a，b)，则栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1.解得M′613，3013.设直线m与直线l的交点为N，则由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0.得N(4，3)．又∵m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(1)关于中心对称问题的处理方法：①若点M(x1，y1)与N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得x＝2a－x1，y＝2b－y1.②直线关于点的对称问题，其主要处理方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程．栏目导引第八章平面解析几何名师讲坛精彩呈现考点探究讲练互动教材回顾夯实双基知能演练轻松闯关(2)关于轴对称问题的处理方法：①点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，