向量法解立体几何公式总结

1向量法解立体几何公式总结一、基本知识点直线ml,的方向向量分别为ba,，平面,的法向量分别为21,nn（若只涉及一个平面，则用n表示其法向量）并在下面都不考虑线线重合、面面重合及线在面内的情况。1、平行问题（结合图象，直观感觉）1）线线平行bkabaml////2）线面平行0//nanal3）面面平行2121////nknnn2、垂直问题（结合图象，直观感觉）1）线线垂直0babaml2）线面垂直nkanal//3）面面垂直02121nnnn3、夹角问题1）异面直线CDAB,所成的角（范围：20）coscos,.ABCDABCDABCD2）线面角（范围：20），nanana,cossin3）二面角（范围：0）ABCDna,22,na21,nn21,nn1212cosnnnn1212cosnnnn2FC1B1A1ACBEDD14、距离问题1）点A到点B的距离：222)()()(BABABAzzyyxxAB2）点A到线l的距离d在直线l上任取点BaABaABaAB,coscos，2cos1sinsinABd，3）点A到面的距离d在平面上任取点BnABnABnAB,coscosnnABnABnABABABdcos4）异面直线间ml,间的距离d在直线l上任取点A，在直线m上任取点B向量n与异面直线ml,的方向向量ba,都垂直nABnABnAB,coscosnnABnABnABABABdcos5）直线l到平面的距离在直线l上任取一点A，转化为点A到面的距离d6）平面到平面的距离在平面上任取一点A，转化为点A到面的距离d二、典例训练例1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AD、AB的中点。1）求异面直线EB1与FC1所成角的大小；3D1C1B1A1ACBD2）求证：异面直线1AC与CB1垂直；3）求直线1BC与面11DEFB所成角的大小。例2、已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB//CD，090DAB，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=12，AB=1，M是PB的中点。1）证明：平面PAD平面PCD2）求AC与PB所成的角余弦值的大小3）求平面AMC与平面BMC所成二面角余弦值的大小例3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点。（1）在棱1BB上是否存在一点M，使MD1平面AEB1，为什么？（2）在正方体表面11AABB上是否存在点N，使ND1平面AEB1，为什么？例4、如图所示，在直三棱柱111CBAABC中，3,1,2,9010AABCABACB（1）求三棱柱111CBAABC的体积；（2）求证111CABCA平面（3）若D是1CC的中点，在棱AB上是否存在一点E，使11//CABDE平面，证明你的结论例5、已知棱长为1的正方体,1ACE，F分别是11CB和11DC中点.（1）求证：E、F、B、D共面；（2）求点1A到平面BDFE的距离；（3）求直线DA1到平面BDFE所成的角.MABDCPDC1B1A1CBAFEC1D1B1A1CDAB4例6、如图，111CBAABC是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱1CC的中点.（1）求证：平面DAB1平面11AABB；（2）求点C到平面DAB1的距离；（3）求平面DAB1与平面ABC所成二面角（锐角）的大小.例7、（2007浙江卷理）在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且2ACBCBDAE，M是AB的中点．（I）求证：CMEM；（II）求CM与平面CDE所成的角．例8、（2008浙江卷理）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=90,AD=3,EF=2。（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60？例9、（2009浙江卷理）如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，,,EFO分别为PA，PB，AC的中点，16AC，10PAPC．（I）设G是OC的中点，证明：//FG平面BOE；（II）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．EDCMAB5例10、（2009宁夏海南卷理）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的2倍，P为侧棱SD上的点。（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。例11、（2009江西卷理）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，4PAAD，2AB.点M为PD的中点，PCAN于N点.（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离.例12、（2009重庆卷理）如图，在四棱锥SABCD中，//ADBC且ADCD；平面CSD平面ABCD，,22CSDSCSAD；E为BS的中点，2,3CEAS．求：（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；（Ⅱ）二面角ECDA的大小．w.w.w.k.s.5.u.c.o.mNODMCBPA