偏微分方程的有限差分方法-南京大学数学系

第⼆稿(2015)偏微分方程的有限差分方法FINITEDIFFERENCEMETHODSOFPARTIALDIFFERENTIALEQUATIONS...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................sCsWsSsEsNuTcAcBcPcQ编者：张强YV]\^_‘S南京⼤学数学系RPM[OUQL第⼆稿(2015)偏微分方程的有限差分方法FINITEDIFFERENCEMETHODSOFPARTIALDIFFERENTIALEQUATIONS...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................sCsWsSsEsNuTcAcBcPcQ编者：张强YV]\^_‘S南京⼤学数学系RPM[OUQL序微分⽅程的应⽤背景⾮常⼴泛，它可以描述诸多的数学物理和科学⼯程问题。通常，我们⽆法给出准确或简洁的公式解，相应的数值⽅法研究是⾮常必要的。常微分⽅程的数值⽅法研究可以追溯到18世纪，偏微分⽅程的数值⽅法研究也在20世纪初就开展起来了。但是，微分⽅程的数值⽅法真正成为⼀门理论上严谨、实⽤上有效的学科，却是20世纪50年代以后的事情。在第⼆次世界战争之后，电⼦计算机的诞⽣以及其他学科和⼯程技术的快速发展，为本学科的蓬勃发展提供了重要的客观条件。在偏微分⽅程的数值解法领域，数值⼯作者提出、发展和完善了各种各样的数值⽅法，例如有限差分⽅法、有限体积⽅法、有限元⽅法、配置⽅法和谱⽅法等等。其中，有限差分⽅法因其重要的历史地位和简洁的处理⽅式，在偏微分⽅程的数值⽅法研究中占有⾮常重要的地位。有限差分⽅法的数值技巧和基本观念，深深地影响着其它数值⽅法的研究。时⾄今⽇，有限差分⽅法已经应⽤到各种各样的微分⽅程中。作为偏微分⽅程数值解法的⼊门教程，我们不可能在有限篇幅内涵盖有限差分⽅法的很多内容。简单来说，有限差分⽅法就是利⽤有限离散点处的局部信息，离散待解的微分⽅程中的导数和函数值。我们将介绍抛物型偏微分⽅程、双曲型偏微分⽅程和椭圆型偏微分⽅程的差分⽅法i，展⽰各种差分格式的优缺点和应⽤范围。这些差分格式蕴含着丰富的设计思想和理论概念，是偏微分⽅程数值⽅法研究的宝贵资源。i在这个过程中，我们也会顺便介绍⼀些同有限差分⽅法密切相关的其他算法。i本讲义基本做到⾃成体系。读者只需具备数学分析和⾼等代数的基础知识即可，例如Taylor级数和Fourier级数（积分）理论、矩阵范数和矩阵征值问题等相关内容。若读者熟悉数值积分、数值差商、函数逼近和数值代数等内容，将会更加容易理解数值离散的⼀些基本⼿段。若读者还熟悉三类偏微分⽅程的基本性质，将有助于洞悉数值处理的关键所在。当然，读者需要具备⼀定的编程能⼒。我们要通过⼤量的数值实验，来掌握每个数值⽅法的优缺点。最后，本讲义的编著要感谢信息与计算专业同学的帮助和⽀持。由于编者⽔平有限，疏漏错误在所难免，敬请读者批评指正。南⼤和园2015年2⽉ii目录前言10.1数值计算的意义.......................10.2常⽤的偏微分⽅程.....................20.3内容摘要..........................5第一部分有限差分方法的基本理论11第一章两个古典格式131.1⼀个简单的模型问题....................131.1.1离散过程......................141.1.2全显格式和全隐格式................181.1.3算法可⾏性.....................181.1.4计算效率......................201.1.5数值表现......................221.2补充和总结.........................251.2.1纯初值问题和周期边界问题............251.2.2数值研究的主要内容................28第二章差分方法的基本概念312.1预备知识..........................312.1.1⽹格函数和离散范数................312.1.2双层格式......................332.1.3加密路径......................35iii2.2相容性............................362.2.1逐点相容性.....................362.2.2整体相容性.....................392.2.3两者的关系.....................402.3稳定性............................422.3.1关于初值的稳定性.................432.3.2关于右端项的稳定性................462.4收敛性............................482.5总结和综述.........................502.5.1Lax等价定理....................512.5.2有限差商离散技巧.................522.5.3稳定性分析⽅法...................57第三章Fourier方法633.1理论依据..........................633.1.1整个数轴上的⽹格函数...............633.1.2有界区间上的周期⽹格函数............653.2分析过程..........................693.2.1增长因⼦......................693.2.2vonNeumann条件.................703.2.3古典格式的L2模稳定性..............72第二部分抛物型偏微分方程的差分方法75第四章热传导方程774.1加权平均格式........................774.1.1局部截断误差....................78iv4.1.2数值稳定性.....................794.1.3单侧逼近性质....................814.1.4关于数值精度阶的思考...............824.2三层格式..........................834.2.1Richardson格式..................834.2.2多层格式的Fourier⽅法..............854.2.3实⽤的三层格式...................894.3计算效率的提升.......................934.3.1时间步长轮替策略.................934.3.2显隐格式的交替使⽤................944.3.3显式（或隐式）分组格式.............994.4收敛性分析.........................1044.4.1强正则性假设....................1044.4.2弱正则性假设z...................1064.5导数边界条件的处理....................1104.5.1单侧离散⽅法....................1114.5.2虚拟点⽅法.....................1154.5.3半⽹格⽅法.....................1164.5.4数值表现......................1174.6初值设置⽅式........................1194.6.1热量守恒性质的数值保持.............1204.6.2精确守恒量的数值实现...............122第五章一维扩散方程1275.1⾮守恒形式的线性扩散⽅程................1275.1.1格式设计......................1285.1.2理论分析......................130v5.2守恒形式的线性扩散⽅程.................1335.2.1积分插值⽅法....................1335.2.2能量⽅法......................1365.2.3注释和说明.....................1385.2.4盒⼦格式......................1395.3具有间断系数的线性扩散⽅程...............1415.4极坐标下的热传导⽅程...................1455.5⾮线性扩散⽅程....................