向量法解立体几何

空间向量解立体几何第1页共5页ykiykiB(b1,b2,b3)A(a1,a2,a3)OOjxzjxzykiA(x,y,z)Ojxz中山二中2011届空间向量解立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}ijk表示；（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{,,}ijk，以点O为原点，分别以,,ijk的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫原点，向量,,ijk都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。（3）作空间直角坐标系Oxyz时，一般使135xOy（或45），90yOz；（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系奎屯王新敞新疆规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系奎屯王新敞新疆（5）空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a，设,,ijk为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)aaa，使123aaiajak，有序实数组123(,,)aaa叫作向量a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作123(,,)aaaa．在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(,,)xyz，使OAxiyjzk，有序实数组(,,)xyz叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作(,,)Axyz，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．二、空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，则112233(,,)abababab，112233(,,)abababab，123(,,)()aaaaR，112233//,,()ababababR，（2）若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则212121(,,)ABxxyyzz．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（3）//abba112233()babaRba三、空间向量直角坐标的数量积1、设ba,是空间两个非零向量，我们把数量baba,cos||||叫作向量ba,的数量积，记作ba，即ba＝baba,cos||||规定：零向量与任一向量的数量积为0。2、模长公式222123||aaaxxx3、两点间的距离公式：若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则2222212121||()()()ABABxxyyzz，或222,212121()()()ABdxxyyzz．4、夹角：cos||||ababab．注：①0(,ababab是两个非零向量）；②22||aaaa。5、空间向量数量积的性质：①||cos,aeaae．②0abab．③2||aaa．6、运算律①abba；②)()(abba；③cabacba)(四、直线的方向向量及平面的法向量1、直线的方向向量：我们把直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量2、平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n，如果n，那么向量n叫做平面α的法向量。注：①若l，则称直线l为平面的法线；②平面的法向量就是法线的方向向量。③给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面。空间向量解立体几何第2页共5页ABCDE例1zyxPGFECBA3、在空间求平面的法向量的方法：（1）直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。（2）待定系数法：建立空间直接坐标系①设平面的法向量为(,,)nxyz②在平面内找两个不共线的向量111(,,)axyz和222(,,)bxyz③建立方程组：00nanb④解方程组，取其中的一组解即可。五、证明1、证明两直线平行已知两直线a和b,bDCaBA,,,,则ba//存在唯一的实数使ABCD2、证明直线和平面平行（1）已知直线EDCaBAa,,,,,且三点不共线，则a∥存在有序实数对,使ABCDCE（2）已知直线,,,aBAa和平面的法向量n,则a∥nAB3、证明两个平面平行nm,,已知两个不重合平面,,法向量分别为则∥nm//4、证明两直线垂直已知直线ba,。bDCaBA,,,，则0CDABba5、证明直线和平面垂直已知直线和平面a，且A、Ba,面的法向量为m,则//aABm6、证明两个平面垂直已知两个平面,,两个平面的法向量分别为,mn,则mn六、计算角与距离1、求两异面直线所成的角已知两异面直线ba,，,,,ABaCDb，则异面直线所成的角为：cosABCDABCD2、求直线和平面所成的角已知A,B为直线a上任意两点，n为平面的法向量，则a和平面所成的角为:（1）当2,0nAB时2ABn（2）当,2nAB时2ABn3、求二面角（1）已知二面角l，且lCDlABDCBA,,,,且，则二面角的平面角的大小为：,ABCD（2）已知二面角,lnm,分别为面,的法向量，则二面角的平面角的大小与两个法向量所成的角相等或互补。即,,mnmn或注:如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系。(1)通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之。(2)通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。4、求两条异面直线的距离已知两条异面直线ba,,m是与两直线都垂直的向量,bBaA,则两条异面直线的距离ABmdm5、求点到面的距离已知平面和点A,B且BA,,m为平面的法向量,则点A到平面的距离ABmdm七、训练题1、在正棱锥PABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE：EC=PF：FB=1：2。求证：平面GEF⊥平面PBC证明：PBCPA面，所以PA是面PBC的一个法向量，不妨设PA=3，则300PA（，，）设面EFG的一个法向量,,)nabc（，且010F（，，），110G（，，）则向量空间向量解立体几何第3页共5页A1xD1B1ADBCC1yzE1F1HGA1xD1B1ADBCC1yzE1FA1xD1B1ADBCC1yzEFA1D1B1DCC1z100FG（，，）则向量FG与PA是共线向量那么GFPBC面，则GEFPBC面面2、如图，已知直三棱柱111ABCABC中，90,30,ACBBACBC=1，16AA，M是1CC的中点。求证：11ABAM证明：说明上图中，上底面字母为11AC1，，B。建立以C为坐标原点的空间直角坐标系以CA为Y轴，CB为X轴，1CC为Z轴，则600M（，，）21036A（，，）030A（，，）1106B（，，），则1136AB（，，），1AM（6032，，）则1AB1AM=0，命题得证。3、在正方体1111DCBAABCD中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1=41A1B1，D1F1=41D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。解：设正方体棱长为4，以1,,DDDCDA为正交基底，建立如图所示空间坐标系xyzD)4,1,0(1BE,)4,1,0(1DF，1BE1DF＝151715||||,cos111111DFBEDFBEDFBE4、在正方体1111DCBAABCD中,F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且11ED41D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小解：设正方体棱长为1，以1,,DDDCDA为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz1DB为D1AC平面的法向量，)1,1,1(1DB)1,43,21(1FE8787,cos11FEDB所以直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值为87875、在正方体1111DCBAABCD中,求二面角11CBDA的大小。解：设正方体棱长为1，以1,,DDDCDA为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz（法一）)1,21,21(1EA,)1,21,21(1EC31,cos11ECEA（法二）求出平面BDA1与平面BDC1的法向量)1,1,1(,)1,1,1(21nn31||||,cos212121nnnnnn6、已知E,F分别是正方体1111DCBAABCD的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角BBDC11的大小。解：设正方体棱长为1，以1,,DDDCDA为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz（1）)1,0,1(1DA)0,21,21(EF21||||,cos111EFDAEFDAEFDAA1D与EF所成角是060（2）)1,21,1(1FA,)0,1,0(AB31||||,cos111ABFAABFAABFA（3）)1,1,1(1AC,)0,1,1(AC，36||||,cos111ACACACACACAC二面角BBDC11的正弦值为367、如图，正四棱柱1111ABCDABCD中，124AAAB，点E在1CC上且ECEC31．（Ⅰ）证明：1AC平面BED；（Ⅱ）求二面角1ADEB的大小．解：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，MCCBBAAABCDEA1B1C1D1空间向量解立体几何第4页共5页NMABDCOxyzNMABDCOP建立如图所示直角坐标系Dxyz．依题设，1(220)(020)(021)(204)BCEA，，，，，，，，，，，．(021)(220)DEDB，，，，，，11(224)(204)ACDA，，，，，．（Ⅰ）因为10ACDB，10ACDE，故1ACBD，1ACDE．又DBDED，所以1AC平面DBE．（Ⅱ）设向量()xyz，，n是平面1DAE的法向量，则DEn，1DAn．故20yz，240xz．令1y，则2z，4x，(412)，，n．1AC，n等于二面角1ADEB的平面角，4214,cos111CAnCAnCAn．所以二面角1ADEB的大小为14arccos42．8、如，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，090,BADFABBC//12AD，BE//12AF（Ⅰ）证明：,,,CDFE四点共面；（Ⅱ）设ABBCBE，求二面角AEDB的大小；解：由平面ABEF平面ABCD，AFAB，得AF平面ABCD，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz（Ⅰ）设,ABaBCbBEc,，则,0,0,,0,,0,,0,2,0,0,0,2BaCabEacDbFc,0,,,0,2,2ECbcFDbc故12ECFD，从而由点EFD，得//ECFD故,,,CDFE四点共面（Ⅱ）设1AB，则1BCBE，1,0,0,1,1,0,0,2,0,1,0,1BCDE在DE上取点M，使5DMME，则515,,636M从而115,,636MB又1,2,1,0,DEMBDEMBDE在DE上取点N，使2DNNE，则222,,333N