姜启源等编《数学模型》第四版-课件-第十三章--动态优化模型

第十三章动态优化模型12.1速降线与短程线12.2生产计划的制订12.3国民收入的增长12.4渔船出海12.5赛跑的速度12.6多阶段最优生产计划•连续动态过程的优化归结为求泛函的极值.•求泛函极值的常用方法:变分法,最优控制论.•离散动态过程的优化~动态规划模型.静态优化问题优化目标是数值最优策略是数值•函数对应的数值称为泛函(函数的函数).动态优化问题优化目标是数值最优策略是函数12.1速降线与短程线通过两个古典问题介绍变分法的基本概念,给出主要结果.速降线问题给定竖直平面内不在一条垂直线上的两个点A,B,求连接A,B的光滑曲线，使质点在重力作用下沿该曲线以最短时间从A滑到B(摩擦力不计)..A.B若沿陡峭曲线下滑,虽路径加长，但速度增长很快.若沿直线段AB下滑,路径虽短,但速度增长慢;速降线问题.A.B建立坐标系xOy,xyy=y(x)O曲线弧长dxyds21能量守恒mgydtdsm2)(21质点在曲线y(x)上的速度ds/dtdxgyydt212质点沿曲线y(x)从A到B的时间dxgyyxyJx10221))((11)(,0)0(yxyy求y(x)使J(y(x))达到最小.m~质点质量，g~重力加速度A(0,0),B(x1,y1),曲线AB~y=y(x)满足条件短程线问题.A.Bxyzo给定曲面上的两个点A,B,求曲面上连接A,B的最短曲线.建立坐标系A(x0,y0,z0),B(x1,y1,z1)曲线的弧长dxzyds221曲线的长度10221))(),((xxdxzyxzxyJ求y=y(x),z=z(x)使J(y(x),z(x))达到最小.0))(),(,(xzxyxf满足条件曲面方程f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0曲面上连接A,B的曲线y=y(x),z=z(x)y=y(x)z=z(x)泛函、泛函的变分和极值自变量t，函数x(t),y(t)函数、函数的微分和极值泛函、泛函的变分和极值1.对于t在某域的任一个值,有y的一个值与之对应,称y是t的函数，记作y=f(t)1.对于某函数集合的每一个函数x(t),有J的一个值与之对应,称J是x(t)的泛函,记作J(x(t))2.t在t0的增量记作t=t-t0,微分dt=t2.x(t)在x0(t)的增量记作x(t)=x(t)-x0(t)，x(t)称x(t)的变分3.y在t0的增量记作f=f(t0+t)-f(t0)，f的线性主部是函数的微分,记作dy，dy=f(t0)dt3.泛函J(x(t))在x0(t)的增量记作J=J(x0(t)+x(t))-J(x0(t)),J的线性主部称泛函的变分,记作J(x0(t))泛函、泛函的变分和极值函数、函数的微分和极值泛函、泛函的变分和极值4.若函数y在域内t点达到极值，则在t点的微分dy(t)=04.若泛函J(x(t))在函数集合内的x(t)达到极值,则在x(t)的变分J(x(t))=00)()(ttftdy5.y在t的微分的另一表达式5.泛函J(x(t))在x(t)的变分可以表为0))()(())((txtxJtxJ泛函J(x(t))在x(t)达到极值的必要条件0))()((0txtxJ欧拉方程(最简泛函极值的必要条件)21))(),(,())((ttdttxtxtFtxJ最简泛函F具有二阶连续偏导数，x(t)为二阶可微函数固定端点条件下的泛函J(x(t))在x(t)达到极值的必要条件:x(t)满足二阶微分方程0xxFdtdF0xFxFFFxxxxxtx2211)(,)(xtxxtx两个任意常数由确定欧拉方程用欧拉方程解速降线问题0xFxFFFxxxxxtx11)(,0)0(yxyydxgyyxyJx10221))((求y(x)使达到最小,且欧拉方程yyyyF21),(0yFyFFFyyyyyxy0)(yFyFdxdcFyFycyyyyy)1(122222/1)1(cyy)cos1()sin(121tcycttcx圆滚线方程c2=0,c1由y(x1)=y1确定.横截条件(变动端点问题)容许函数x(t)的一个端点固定:x(t1)=x1;另一个端点在给定曲线x=(t)上变动:x(t2)=(t2)(t2可变).x(t).A.Bx=(t)txot2欧拉方程在变动端点的定解条件0])([2ttxFxF•x=(t)垂直于横轴(t2固定)02ttxF•x=(t)平行于横轴0][2ttxFxF包含多个未知函数泛函的欧拉方程21))(),(),(),(,())(),((ttdttututxtxtFtutxJ0,0uuxxFdtdFFdtdF欧拉方程泛函的条件极值21))(),(,())((ttdttutxtFtuJ))(),(,()(tutxtftx求u(t)U(容许集合)使J(u(t))在条件下达到极值,且x(t)X(容许集合)最优控制问题:u(t)~控制函数,x(t)~状态函数(轨线).泛函的条件极值21))(),(,())((ttdttutxtFtuJ))(),(,()(tutxtftx用拉格朗日乘子化为无条件极值21)]),,()((),,([))(),((ttdtxuxtftuxtFtutxI),,()(),,(),,(uxtftuxtFuxtH21ttdtxH)(欧拉方程0)()(0)()(uuxxxHdtdxHxHdtdxH00)(uHtxH),,(0)(uxtfxuHxHt由方程组和端点条件解出最优控制u(t)和最优轨线x(t).Hamilton函数12.2生产计划的制订问题•生产任务是在一定时间内提供一定数量的产品.•生产费用随着生产率(单位时间的产量)的增加而变大.•贮存费用随着已经生产出来的产量的增加而变大.•生产计划用每一时刻的累积产量表示.建模目的寻求最优生产计划,使完成生产任务所需的总费用(生产费用与贮存费用之和)最小.分析与假设生产任务:t=0开始生产,t=T提供数量为Q的产品.生产计划(累积产量):x(t)生产率(单位时间产量):))((txfxxddf生产费用贮存费用))((txgdttxgtxftxCT))](())(([))((0总费用•生产率提高一个单位的生产费用与生产率成正比•贮存费用与贮存量成正比)())((2txktxg)())((21txktxf)(tx模型与求解dttxktxktxCT)]()([))((2210QTxx)(,0)0(求x(t)(0,0tT)使C(x(t))最小.0xxFdtdF欧拉方程)()(221txktxkF0)(212txkktTkTkQktkktx1221212444)(考察x(t)0(0tT)的条件txQT01224/kTkQ只有当生产任务Q足够大时才需要从t=0开始生产.,4/122kTkQ若怎么办??0)0(x模型解释最优生产计划tTkTkQktkktx1221212444)(0)(212txkk满足方程))](([212txkxdddtdk)())((21txktxf)(xddfdtd)())((2txktxgxddf~边际成本生产费用贮存费用2kdxdg~边际贮存最优生产计划在边际成本的变化率等于边际贮存时达到.生产计划的制订•最优生产计划的目标函数只考虑生产费用与贮存费用,并对这两种费用作了最简单的假设.•对于泛函极值问题用古典变分法求解,得到最优生产计划x(t)(累积产量)为二次函数.•实际条件x(t)0导致对已知参数的要求:1224/kTkQ•对函数施加的闭约束,如对生产率的限制可能导致古典变分法的失败.BtxA)(若参数不满足该要求怎样处理?12.3国民收入的增长背景和问题•国民经济收入的来源:扩大再生产的积累资金；满足人民生活需要的消费资金.•如何安排积累资金和消费资金的比例，使国民经济收入得到最快的增长.•从最优控制的角度讨论十分简化的模型.一般模型),,,()(uxtftx国民经济收入x(t)，其中用于积累资金的部分y(t),求最优积累率使国民收入x(t)在时间T内增长最快.积累率u(t)=y(t)/x(t))(,)0(0TxMaxxx),,(1uxtfH1000xTxxxuxtftxuxtfuxtftux)()(),,()(),,(),,()(,国民收入增长率对偶等价,)(,)0(),,,()(10xTxxxuxtftxTdttuJMin0))((泛函条件极值哈密顿函数求解最优控制函数u(t)和最优状态x(t).简化模型)()(/)(buautxtx假设讨论函数f的具体、简化形式1,0)()0()()(0)2()()(xTxxxxbuautxxbuxabuaut描述以上假设的最简模型国民收入相对增长率)(/)(txtx•积累率u较小时随u的增加而增加~积累资金扩大再生产的促进作用.)(/)(txtx•随着u的变大的增加变慢.)(/)(txtx•u增加到一定程度后反而减小~消费资金太少对国民收入的制约作用.)(/)(txtxxbuauuxtf)(),,(1,0)()0()()(0)2()()(xTxxxxbuautxxbuabuaut模型求解1000xTxxxuxtftxuxtfuxtftux)()(),,()(),,(),,()(,xbuauuxtftx)(),,()(对于最简模型不必解泛函极值问题,可以直接得到u=a/2b时最大.xbuautx)()()(tx使国民收入x(t)增长最快的最优积累率是常数u=a/2b01240ln4,)(,2)(2xxabTextxbatutba结果解释12.4渔船出海背景和问题•继续讨论开发渔业资源的最大经济效益模型.•用出海渔船数量表示捕捞强度,作为控制函数.•当渔场鱼量增长到一定数量后才出海捕捞.•用特殊形式的控制函数将动态优化问题化为普通的函数极值.模型假设•x(t)的自然增长服从Logistic规律,单位时间捕捞量与u(t),x(t)成正比.•当t时才派渔船出海,且u(t)=U(常数).•鱼的出售单价为p,每只渔船单位时间费用为c,折扣因子(通货膨胀率)为.渔场鱼量x(t),渔船数量u(t))()()1()(txtquNxrxtx•x(0)=N/K(K很大),t时x(t)保持稳定.建模与求解~泛函极值问题目标函数:捕鱼业的长期效益)()()1()(txtquNxrxtx0)]()()([))((dttcututpqxetuJttrqUNteKNtxrt),1(0,)1(1)(tUttu,0,0)()1()1(11rqUeKr)]1)(1ln[(1qUrKrx(t)在t=的连续性~函数极值问题建模与求解目标函数:捕鱼业的长期效益0)]()()([))((dttcututpqxetuJt)]1)(1ln[(1qUrKrdtcrqUpqNUeUFt])/1([)(pqNcbebrqUUpqNU/,/)/()(1b(1)~费用-价格比的下界qbrUbrqUU/)1(0/10,8)1(3[42rbrbrbqrU)(UFMaxtrqUNtx),/