数列基础知识&例题讲解

第六章数列第一节数列的概念一.数列及其有关的概念（1）数列的定义：（2）项：按照一定次序排列的一列数.数列中的每一个数叫做这个数列的项，第1项称作首项，若是有穷数列，最后一项叫做末项.（3）数列的表示：于是数列的一般形式为：123,,,...,,...naaaa简记为{}na从函数的观点看：数列是以定义域为N的函数f(n)，当自变量从n从1开始依次取正整数时，对应的一列函数值为f(1),f(2),…,f(n),…,通常用代替f(n).na其中是数列的第n项.na{}na（4）数列的通项公式：一.数列及其有关的概念一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.{}nana()nafn（5）数列的分类：①按照项数的有限还是无限来分：有穷数列、无穷数列.②按照项与项之间的大小关系来分：递增数列、递减数列、摆动数列、常数数列.二.已知求nSna（1）数列及数列前n项和之间的关系：nanS123,nnSaaaana{1(1),Sn1(2).nnSSn注：由求时要注意三点：nSna①要重视分类讨论的应用，分和两种情况讨论，特别要注意的是由推出的时候.1n2n1nnnSSana2n②由推出的当时，合适“式”，则数列的通项公式需要统一“合写”.1nnnSSana1n1ana③由推出的当时，不合适“式”，则数列的通项公式应分段表示.1nnnSSana1n1ana三.数列的递推公式如果已知数列的第一项（或者前几项），且从第二项（某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.{}nana1na(2,)nnN例如：，11a12(2,)nnaannN例题讲解类型一：数列的分类(1)2014,2016,2018,2020,2022;【例1】已知下列数列：121(2)0,,,,,;23nn1111(3)1,,,,,;242n123(1)(4)1,,,,,;3521nnn(5)1,0,1,,sin,;2n(6)9,9,9,9,9,9.其中，有穷数列是：无穷数列是：递增数列是：递减数列是：常数列是：摆动数列是：（1）（6）（2）（3）（4）（5）（1）（2）（3）（4）（5）（6）例题讲解类型二：由数列的前几项写出数列的一个通项公式【例2】书P73例题1：【规律总结】（1）充分观察项，如果有分式，则同时观察分式中分子分母的特征，进行恰当的变形，寻找分子、分母各自规律以及分子、分母间的关系.（2）对于正负符号的变化，可用和来调整.(1)n1(1)n类型三：通项公式的简单应用例题讲解【例3】已知数列的通项公式为.{}na221nnan(1)写出该数列的第4项和第7项；(2)试判断和是否是该数列中项，若是，求出它是第几项，若不是说明理由.9101101231nnnSaaaaana{1(1),Sn1(2).nnSSn注：由求时要注意三点：nSna①要重视分类讨论的应用，分和两种情况讨论，特别要注意的是由推出的时候.1n2n1nnnSSana2n②由推出的当时，合适“式”，则数列的通项公式需要统一“合写”.1nnnSSana1n1ana③由推出的当时，不合适“式”，则数列的通项公式应分段表示.1nnnSSana1n1ana例题讲解类型四：已知求nSna【例4】书P74例题211231nnSaaaa例题讲解☆类型五：由递推关系求通项【例1】已知，，试求数列的通项公式.11a131nnaa{}na【技巧】：①已知首项，递推关系为：1aa1()nnaqabnN☆求数列的通项公式的关键是将转化为,其中的值可以用待定系数法确定，即{}na1nnaqab1()nnamqamm1(1)(1)1nnnbqabaqaqmmqq【跟1】已知，，试求数列的通项公式.112a121nnaa{}na例题讲解☆类型五：由递推关系求通项【例2】已知，，试求数列的通项公式.10a1(21)nnaan{}na【技巧】：②已知且，可用“迭加法”，即：1aa1()nnaafn1()nnaafn12(1)nnaafn32(3)aaf21(2)aaf所有式子左右两边分别相加得：1123221()()()()()(1)(3)(2)nnnnaaaaaaaafnfnff即：1()(1)(3)(2)naafnfnff例题讲解☆类型五：由递推关系求通项【例3】已知，，试求数列的通项公式.11a1(1)nnnana{}na【技巧】：③已知且可用“迭乘法”，即：1aa1()nnafna1()nnafna12(1)nnafna32(3)afa21(2)afa所有式子左右两边分别相乘得：1321221()(1)(3)(2)nnnnaaaaaaaafnfnff1()(1)(3)(2)naafnfnff即：第六章数列第二节等差数列及其前n项和一.等差数列及其相关概念（1）等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示.定义的表达式为：1nnaad(,2)nNn1nnaad()nN（2）等差中项：如果三个数a、A、b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，即：2abA在等差数列中，从第2项起，每一项都是它的前一项与后一项的等差中项，即:112(2,)nnnaaannN（3）等差数列的通项公式：一.等差数列及其相关概念1(1)naand()nmaanmd其中，m,n大小任意，但是，必须是数列中的项.,nmaa（4）等差数列的前n项和公式（由倒序相加得到）：1()2nnnaaS1(1)2nnnSnad二.等差数列的性质与应用（1）若公差d0,则此数列是递增数列；若d0，则此数列是递减数列；若d=0，则此数列是常数列.（2）有穷数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之和，即：12132nnnaaaaaa（3）在等差数列中若，且，则：,,,mnpkNmnpkmnpkaaaa特别的，当时，有：2mnp2mnpaaa（4）在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.2,,,...nnmnmaaa即：是等差数列，公差为md.（5）若数列与是公差分别为和等差数列，则仍是等差数列，且公差为：{}na{}nb{}nnmakb12mdkd1d2d（6）若成等差数列，且为其前n项和，则:成等差数列，公差为{}nanS232,,,nnnnnSSSSS2nd（7）项数为n的等差数列中，n为奇数时：12nSSa奇偶11SnSn奇偶12nnSnana中n为偶数时：2nSSd奇偶例题讲解类型一：等差数列中基本量的求解【例1】在等差数列数列中.{}na61a（1）已知，，求.1533a45153a（2）已知，，求和.848S12168S1ad（3）已知,，求和.610a55S8a8S（4）已知,求.163a31S第六章数列第三节等比数列及其前n项和一.等比数列及其相关概念（1）等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q表示.定义的表达式为：1nnaqa(,2)nNn（2）等比中项：如果三个数a、G、b成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，即：2Gab在等比数列中，从第2项起，每一项都是它的前一项与后一项的等比中项，即:211(2,)nnnaaannN(0)q（3）等比数列的通项公式：（累乘法得到）一.等比数列及其相关概念11nnaaqnmnmaaq其中，m,n大小任意，但是，必须是数列中的项.,nmaa（4）等比数列的前n项和公式（由错位相减得到）：1nSna1(1)1nnaqSq()nN当时：1q当时：1q或11nnaaqSq注：等比数列在不知道公比q的取值时，一定要分类讨论.二.等比数列的性质与应用（1）有穷数列中，与首末两项距离相等的两项积相等，并且等于首末两项之积，即：12132nnnaaaaaa（2）在等比数列中若，且，则：,,,mnpkNmnpkmnpkaaaa特别的，当时，有：2mnp2mnpaaa（3）在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列.一个等比数列的奇数项，仍组成一个等比数列，新公比为原公比的二次幂.一个等比数列的偶数项，仍组成一个等比数列，新公比为原公比的二次幂.三.等比数列的判定方法（1）定义法：1nnaqa（q是不为0的常数）是等比数列{}na（2）通项公式法：nnacq（c、q是不为0的常数）{}na是等比数列（3）中项公式法：21212(0)nnnnnnaaaaaa{}na是等比数列例题讲解类型一：等比数列中基本量的求解【例1】在等比数列数列中.{}na10a（1）已知，，求.42a78a（2）已知，，，求.2518aa369aa1nan（3）已知,，求.230S3155SnS（4）已知,，，求和.189nS2q96na1an