高考数学数列3

哈五中高三数学（文科）第二轮复习专题讲座(教师版)专题三：数列及其应用第一课时数列的前n项和与第n项的关系【题例分析】例1若数列na的前n项和为21nSnn，求na，na是否是等差数列？解:∵21nSnn,∴当1n时,111aS∴当2n时,221(1)(1)(1)1nnnaSSnnnn22(1)(1)(1)1nnnn2n∵1121a∴1122nnann,∴数列na不是等差数列,从第2项起是等差数列.点评:非常数等差数列的前n项和是关于n的二次函数,且常数项为0.例2已知数列na的前n项和nS满足5log(1)nSn，求na，并判断na是什么数列？解:∵5log(1)nSn∴15nnS,即51nnS∴当1n时,111514aS∴当2n时,11(51)(51)nnnnnaSS155nn145n又∵11445na∴1*45()nnanN,∴数列na是首项为4,公比为5的等比数列..例3已知数列na满足53,nnaSnN，求1321naaa解:∵53,nnaSnN,∴13,55nnSanN∴当n=1时,11aS,1153aa,134a当2n时,1nnnaSS,由1355nnSa和111355nnSa两式相减得,114nnaa∴数列na是以34为首项,14为公比的等比数列.∴13521,,,,,naaaa，是以34为首项,116为公比的等比数列.∴132131(1())41416[1()]1516116nnnaaa点评:若na是等比数列,则其子数列nka也是等比数列(其中nk是等差数列).例4已知数列na的前n项和为nS，且142,()nnSanN，11a，12nnnbaa，求证数列nb是等比数列,并写出其通项公式.解:∵142nnSa,∴142(2)nnSan两式相减得,1144(2)nnnaaan∴11224(2)nnnnaaaan即1122(2)2nnnnaanaa∵12nnnbaa,∴112nnnbaa∴12(2)nnbnb即数列nb是等比数列.∵142nnSa,11a∴12142aaa,解得25a,∴12123baa∴数列nb是以3为首项,2为公比的等比数列.即132()nnbnN点评:本题是采用换元的方法,需要有整体的意识.【巩固训练】一.选择题：1.若数列na的前n项和为2nSn，则这个数列（C）A.是等差数列，且21nanB.不是等差数列，但21nanC.是等差数列，且21nanD.不是等差数列，但21nan2.数列na的前n项和为23nnSa，则na是（A）A.等比数列B.等差数列C.除第1项是等比数列D.除第1项是等差数列二.填空题：3.数列na的前n项和114nnSa，则na1*4133nnN4.数列na的前n项和252nSnn，则na的前10项和10T60.三.解答题：5.（2007湖南文20）设nS是数列{}na（nN*）的前n项和，1aa，且22213nnnSnaS，0na，234n，，，．（I）证明：数列2{}nnaa（2n≥）是常数数列；（II）试找出一个奇数a，使以18为首项，7为公比的等比数列{}nb（nN*）中的所有项都是数列{}na中的项，并指出nb是数列{}na中的第几项．解：（I）当2n≥时，由已知得22213nnnSSna．因为10nnnaSS，所以213nnSSn．①于是213(1)nnSSn．②由②－①得：163nnaan．③于是2169nnaan．④由④－③得：26nnaa．⑤即数列2{}nnaa（2n≥）是常数数列．（II）由①有2112SS，所以2122aa．由③有1215aa，所以332aa，而⑤表明：数列2{}ka和21{}ka分别是以2a，3a为首项，6为公差的等差数列．所以22(1)6626kaakka，213(1)6623kaakka，kN*．由题设知，1187nnb．当a为奇数时，21ka为奇数，而nb为偶数，所以nb不是数列21{}ka中的项，nb只可能是数列2{}ka中的项．若118b是数列2{}ka中的第nk项，由18626ka得036ak，取03k，得3a，此时26kak，由2nkba，得11876nk，137nkN*，从而nb是数列{}na中的第167n项．（注：考生取满足36nak，nkN*的任一奇数，说明nb是数列{}na中的第126723na项即可）6.（2007重庆理21）已知各项均为正数的数列{na}的前n项和满足1nS，且*),2)(1(6NnaaSnnn（1）求{na}的通项公式；（2）设数列{nb}满足1)12(nbna，并记nT为{nb}的前n项和，求证：*2),3(log13NnaTnn（Ⅰ）解：由)2)(1(611111aaSa，解得11a或12a，由假设11aS＞1，因此12a。又由11nnnaSS＝)2)(1(61)2)(1(6111nnnnaaaa，得130nnaa或1nnaa因na＞0，故1nnaa不成立，舍去。因此130nnaa。从而｛na｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛na｝的通项为3n-2na。（Ⅱ）证法一：由1)12(bna可解得133log11lognnabznzz；从而133··56·23log21nnbbbTznn。因此23n2·133··56·23log)3(log133nnaTznzn。令23n2·133··56·23)(3nnxf,则233)23)(53()33(23n33n·5323)()1(nnnnnnfnf。因079)23)(53()33(22＞nnnn，故)()1(nfnf＞.特别的12027)1()(＞fnf。从而0)(log)3log(13＞nfaTnn，即)3(log132nnaT＞。证法二：同证法一求得bn及Tn。由二项式定理知当c＞0时，不等式cc31)1(3＞成立。由此不等式有333213115112112log13nTn13315312312log2n＞＝)3(log)23(log1323··48·25·2log222nannn。证法三：同证法一求得bn及Tn。令An＝nn33··56·23，Bn＝nn313··67·43，Cn＝1323··78·45nn。因1323313133nnnnnn＞＞，因此2233nCBAAnnnn＞。从而32322log133··56·322log13xnAnnT＞)3(log)23(log2log222nnnnanCBA。第二课时、等比等差数列的简单综合问题【题例分析】例1设na数列为等比数列，nb数列为等差数列，且10b，nnncab，若nc是1,1,2,,求nc的前10项和.解:由题设可得10b,11c,21c,32c,设na的公比为q,nb的公差为d∵nnncab,∴11122233112(0)111222abaqqabqddabqd∴12,1nnnabn,∴10121210(09)978122nccc点评:本题体现了方程(组)的思想和方法.例2.在等比数列na中，已知6424aa，6453aa，求na的前8项和8S.解法一:设na的公比为q,∵6424aa,3564aa∴531124112464aqaqaqaq,解得112aq或112aq∴当112aq时前8项和881225512S当112aq时前8项和88(1)(12)851(2)S点评:把问题转化为首项和公比(差)建立方程(组)是一般方法.解法二：6453aa，则2464a先由48a得632a联立解q和1a；再由48a得616a判断可知舍去。例3.在等差数列na中，公差0d，2a是1a与4a的等比中项，已知1312,,,,,,kkknaaaaa成等比数列，求数列nk的通项公式.解:依题设得1(1)naand,2214aaa∴2111()(3)adaad整理得,21dad∵0d∴1da∴nand*nN所以,由已知得,12,3,,,,,nddkdkdkd是等比数列,由0d,所以数列121,3,,,,,nkkk也是等比数列,且首项为1,公比为3,∴19k∴数列nk是9为首项,3为公比的等比数列,∴11933()nnnknN点评:本题注重对等差,等比数列基础知识的应用,并考查了子数列的特点.【巩固训练】一.选择题：1.一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（A）A.13B.12C.11D.102.已知等比数列na公比为13q，则135246aaaaaa（D）A.13B.3C.13D.3二.填空题：3.等差数列na的前n项和为nS，已知5620aa，则10S100.4.等比数列na中，214aa，65324aa，则公比q3.三.解答题：5.（2007山东文18）设{}na是公比大于1的等比数列，nS为数列{}na的前n项和．已知37S，且123334aaa，，构成等差数列．（1）求数列{}na的等差数列．（2）令31ln12nnban，，，，求数列{}nb的前n项和T．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2aaaaaa，解得22a．设数列{}na的公比为q，由22a，可得1322aaqq，．又37S，可知2227qq，即22520qq，解得12122qq，．由题意得12qq，．11a．故数列{}na的通项为12nna．（2）由于31ln12nnban，，，，由（1）得3312nna3ln23ln2nnbn又13ln2nnnbb{}nb是等差数列．12nnTbbb1()2nnbb(3ln23nln2)2n3(1)ln2.2nn故3(1)ln22nnnT．6、（2007全国1文21）设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab（Ⅰ）求{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nnab的前n项和nS．解：（Ⅰ）设na的公差为d，nb的公比为q，则依题意有0q且4212211413dqdq，，解得2d，2q．所以1(1)21nandn，112nnnbq．（Ⅱ）1212nnnanb．122135232112222nnnnnS