高等代数北大版3-4

一、矩阵的行秩、列秩、秩二、矩阵的秩的有关结论三、矩阵秩的计算§3.4矩阵的秩一、矩阵的行秩、列秩、秩定义的秩称为矩阵A的行秩；则矩阵A的行向量组12(,,,),1,2,,iiinaaais的秩称为矩阵A的列秩.矩阵A的列向量组12,1,2,,jjsjaajna111212122212,nnsssnaaaaaaAaaa设§3.4矩阵的秩引理如果齐次线性方程组1111221211222211220000nnnnsssnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（1）的系数矩阵111212122212nnsssnaaaaaaAaaa的行秩，那么它有非零解．rn（若(1)只有零解，则）.rn§3.4矩阵的秩证：的秩为r，设矩阵A的行向量组12(,,,),1,2,,iiiinaaais且不妨设为其一个极大无关组.12,,,r于是方程组(1)与方程组(1')是同解的.1111221211222211220000nnnnrrrnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（1'）所以(1')有非零解，从而(1)有非零解.在(1')中,rn由于向量组与向量组等价，12,,,rs,,,21§3.4矩阵的秩定理4矩阵的行秩＝矩阵的列秩．证明：设，A的行秩＝r，A的列秩＝r1，()ijsnAa下证．1rr先证．1rr则向量组的秩为r，12,,,,s不妨设是它的一个极大无关组，12,,,r于是线性无关，12,,,r设A的行向量组为12(,,,),1,2,,iiiinaaais§3.4矩阵的秩即111212112122221122000rrrrnnrnraxaxaxaxaxaxaxaxax（2）只有零解.11220rrxxx只有零解.所以方程组由引理，方程组（2）的系数矩阵1121112222112rrnnrnaaaaaaAaaa（未知量的个数）.的行秩r§3.4矩阵的秩112111222212(,,,,),(,,,),,(,,,)rrrrrraaaaaaaaa是r个线性无关的行向量，中一定可以找到r个线性无关的向量.从而在矩阵的行向量组1A1121112222122(,,,,),(,,,),,(,,,)rrnrnaaaaaaaaa不妨设则该向量组的延伸组112111,11121,(,,,,,,),,(,,,,,,)rrnrrrrrrnraaaaaaaaaa于是矩阵A的列秩．1rr同理可证.1rr所以．1rr也线性无关．A的列向量§3.4矩阵的秩矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，记作秩A或、()rankA().RA定义注②设，则ijsnAa()min(,).RAsn若则称A为行满秩的；(),RAs若则称A为列满秩的.(),RAn①若，则0A()0.RA§3.4矩阵的秩二、矩阵秩的有关结论定理5设，则()ijnnAa0();ARAn0()ARAn(降秩矩阵)(满秩矩阵)§3.4矩阵的秩证：若n＝1，则A只有一个一维行向量0，(),RAnA的n个行向量线性相关.从而A＝0，00.A若n＞1，则A的行向量中至少有一个能由其余行向量线性表出，依次减去其余行的相应倍数，这一行就全变成了0.从而在行列式中，用这一行A0.A§3.4矩阵的秩若n＝1，由知，0A对n作数学归纳法.A＝0，从而()01.RA假若对n－1级矩阵结论成立，下证n级的情形.设，()ijnnAa为A的行向量.12,,,n考察A的第一列元素:11211,,,naaa若它们全为零，则()1;RAnn若它们有一个元素不为零，110,a不妨设则的第2至n行减去第1行的适当倍数后可为A§3.4矩阵的秩11121222200nnnnnaaaaaAaa222112nnnnaaaaa12111(0,,,),2,,iiiniaaaina其中由知，0A22220,nnnnaaaa由归纳假设，矩阵的秩＜n－1，2222nnnnaaaa§3.4矩阵的秩121212211110,nnnnaakkkkaa1212111111,,nnaaaa从而向量组线性相关，故在不全为零的数使2,,,nkk121221111110,nnnaakkaa改写一下，有线性相关12,,,n().RAn不全为零的n个数§3.4矩阵的秩推论1齐次线性方程组().RAn().RAn111122121122221122000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax()有非零解系数矩阵的行列式=0()ijnnAaA()只有零解0A()§3.4矩阵的秩线性相关1112121222120.nnnnnnaaaaaaaaa行列式线性无关1112121222120.nnnnnnaaaaaaaaa行列式n个n维向量12(,,,),1,2,,iiiinaaain推论2§3.4矩阵的秩定义k级子式在一个s×n矩阵A中任意选定k行k列个元素按原来次序所组成的k级行列式，称为矩阵位于这些行和列的交点上的2k1min(,),ksnA的一个k级子式．注矩阵A的k级子式共有个.snkksnCC§3.4矩阵的秩RArA个级子式r1r不等于0，且所有级子式等于0．定理6矩阵的秩为的充要条件是中有一rAA注r至少有一个级子式不为0.①的所有级子式等于0；RArA1r②若则的不为0的级子式所在行(列)RArAr就是A行(列)向量组的一个极大无关组.§3.4矩阵的秩则A的任意个行向量1r11121112nrrrnaaaAaaa由定理5的推论2，证：,RAr设都线性相关，从而A的任意级子式的行向量也1r线性相关.A的级子式全为0.1r下证A至少有一个级子式不为0.r,ijsnAa设,RAr因为所以A有个行向量线性无关，r不妨设A的前个行向量线性无关，r作矩阵§3.4矩阵的秩.tr则行列式显然的行秩为，1Ar从而的列秩也为，1Ar不妨设在中前列线性无关，1Ar11121120.rrrrraaaaaa此即A的一个级非零子式.r若A的所有级子式全为0，1r所有级数大于的子式全为0.r则A的().RAt设由必要性,不可能有.tr否则A的级子式全为0.r同样,不可能有.tr否则A有级子式不为0.(1)tr§3.4矩阵的秩三、矩阵秩的计算方法一按定义求出A的行(列)向量组的秩.级数.方法二利用定理6，等于中非零子式的最大()RAA例1求下列矩阵的秩2103212303125235,0004347100000AB§3.4矩阵的秩(1)174532321A解中，在A，阶子式只有一个的又AA3.03221，且0A.2)(AR§3.4矩阵的秩(2)00000340005213023012B解行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵，3B.4阶子式全为零的所有B,0400230312而.3)(BR§3.4矩阵的秩方法三用初等变换化A为阶梯阵J，等于()RAJ中非零行的行数.原理：初等变换不改变矩阵的秩；阶梯阵的秩等于其中非零行的行数．32050323612015316414A例2求矩阵A的秩§3.4矩阵的秩41461351021632305023A05023351021632341461§3.4矩阵的秩050233510211340414611281216011791201134041461§3.4矩阵的秩8400084000113404146100000840001134041461由阶梯形矩阵有三个非零行可知.3)(AR