平-面-向-量(选择、填空题型)(核心考点突破+高考热点透析-含2013年真题)

第三讲平面向量选择、填空题型平面向量的应用平面向量的数量积平面向量基本定理及坐标表示1.对平面向量的概念及线性运算主要考查线性运算法则及其几何意义以及两个向量共线的条件，或以向量为载体求参数的值，如2013年辽宁T3等．2.对平面向量的基本定理及坐标运算的考查主要侧重以下两点：(1)以平面向量的基本定理为基石，利用一组基底表示相关向量；(2)利用坐标运算解决平行、垂直问题，如2013年山东T15等．3.数量积的运算是每年必考的内容，主要涉及：(1)向量数量积的运算；(2)求向量的模；(3)求向量的夹角，如2013年浙江T17等.平面向量的概念及线性运算考情考点1．(2013·辽宁高考)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A.35，－45B.45，－35C.－35，45D.－45，35解析：由已知，得AB＝(3，－4)，所以|AB|＝5，因此与AB同方向的单位向量是15AB＝35，－45.答案：A2．(2013·湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A.322B.3152C．－322D．－3152解析：AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，向量AB＝(2,1)在CD＝(5,5)上的投影为|AB|cos〈AB，CD〉＝|AB|·AB·CD|AB||CD|＝AB·CD|CD|＝1552＝322.答案：A3．(2013·浙江高考)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为π6，则|x||b|的最大值等于________．解析：因为|x||b|＝|x|xe1＋ye22＝|x|x2＋y2＋2xye1·e2＝|x|x2＋y2＋3xy＝11＋yx2＋3yx＝1yx＋322＋14≤2，当且仅当yx＝－32时取得等号，故|x||b|的最大值为2.答案：24．(2013·山东高考)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．解析：BC＝AC－AB，由于AP⊥BC，所以AP·BC＝0，即(λAB＋AC)·(AC－AB)＝－λAB2＋AC2＋(λ－1)AB·AC＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×－12＝0，解得λ＝712.答案：7125．(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE＝DB＋BE＝12AB＋23(BA＋AC)＝－16AB＋23AC，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：121．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．2．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：(1)a∥b⇔a＝λb(λ≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.3．平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x2－x12＋y2－y12.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.[例1](1)(2013·广东高考)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.平面向量的概念及线性运算上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4(2)(2013·合肥模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若AB＝λAM＋μAN，则λ＋μ＝________.[自主解答](1)显然①②正确；对于③，当μ＜|aa，b时，不存在符合题意的单位向量c和实数λ，③错；对于④，当λ＝μ＝1，|a|＞2时，易知④错．(2)依题意得AM＝AB＋BC＋CM＝AB＋BC－14AB＝34AB＋BC，AN＝AB＋BN＝AB＋12BC；又AB＝λAM＋μAN，于是有AB＝λ34AB＋BC＋μAB＋12BC＝34λ＋μAB＋λ＋μ2BC；又AB与BC不共线，因此有34λ＋μ＝1，λ＋μ2＝0，由此解得λ＝－45，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝45.[答案](1)B(2)45——————————规律·总结————————————平面向量的线性运算应注意三点(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(3)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若A、B、C三点共线，则λ＋μ＝1.——————————————————————1．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3，P为矩形内一点，且AP＝32.若AP＝λAB＋μAD(λ，μ∈R)，则λ＋3μ的最大值为()A.32B.62C.3＋34D.6＋324解析：据已知|AP|2＝(λAB＋μAD)2⇒322＝λ2＋3μ2，整理变形可得(λ＋3μ)2－23λμ＝34，由均值不等式，可得(λ＋3μ)2－2λ＋3μ22≤34，解得λ＋3μ≤62.答案：B2．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线AD交边BC于D，已知AB＝3，且AD＝13AC＋λAB(λ∈R)，则AD的长为()A．1B.3C．23D．3解析：如图所示，因为B，D，C三点共线，所以λ＋13＝1，即λ＝23.在AB上取一点E使AE＝23AB，在AC上取一点F使AF＝13AC，由AD＝13AC＋23AB＝AF＋AE，可知四边形AEDF为平行四边形，又∠BAD＝∠CAD＝30°，所以▱AEDF为菱形．因为AE＝23AB，AB＝3，所以菱形的边长为2.在△ADF中，ADsin120°＝DFsin30°，所以AD＝sin120°·DFsin30°＝23.答案：C[例2](1)(2013·济南模拟)△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3OA＋4OB＋5OC＝0，则OC·AB的值为()A．－15B.15C．－65D.65(2)(2013·重庆高考)在平面上，1AB⊥2AB，|1OB|＝|2OB|＝1，AP＝1AB＋2AB.若|OP|12，则|OA|的取值范围是()A.0，52B.52，72C.52，2D.72，2平面向量的数量积(3)(2013·浙江高考)设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝14AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB·PC≥0PB·0PC，则()A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝ACD．AC＝BC[自主解答](1)由已知得4OB＝－3OA－5OC⇒|4OB|2＝(－3OA－5OC)2，即16＝34＋30OA·OC，解得OA·OC＝－35；同理3OA＝－4OB－5OC，两边平方得OB·OC＝－45，因此OC·AB＝OC·(OB－OA)＝OC·OB－OC·OA＝－15.(2)∵AB1⊥AB2，∴AB1·AB2＝(OB1－OA)·(OB2－OA)＝OB1·OB2－OB1·OA－OA·OB2＋OA2＝0，∴OB1·OB2－OB1·OA－OA·OB2＝－OA2.∵AP＝AB1＋AB2，∴OP－OA＝OB1－OA＋OB2－OA，∴OP＝OB1＋OB2－OA.∵|OB1|＝|OB2|＝1，∴OP2＝1＋1＋OA2＋2(OB1·OB2－OB1·OA－OB2·OA)＝2＋OA2＋2(－OA2)＝2－OA2.∵|OP|12，∴0≤|OP2|14，∴0≤2－OA214，∴74OA2≤2，即|OA|∈72，2.[答案](1)A(2)D(3)D(3)设AB＝4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)．又P0是边AB上一定点，P0B＝14AB，所以P0(1,0)．设C(a，b)，P(x,0)，∴PB＝(2－x,0)，PC＝(a－x，b)．∴0PB＝(1,0)，0PC＝(a－1，b)．PB·PC≥0PB·0PC恒成立⇒(2－x)·(a－x)≥a－1恒成立，即x2－(2＋a)x＋a＋1≥0恒成立．∴Δ＝(2＋a)2－4(a＋1)＝a2≤0恒成立．∴a＝0.即点C在线段AB的中垂线上，∴AC＝BC.在本例(1)中，若OA＋OB＋CO＝0，则∠BAC的大小是多少？解：由已知可得OA＋OB＝OC，由向量加法的平行四边形法则可知四边形OACB是四条边均为外接圆半径R的平行四边形，故△OAC为等边三角形，∠OAC＝2∠BAC＝60°，所以∠BAC＝30°.互动探究—————————规律·总结——————————解决数量积运算应注意三点(1)a·b＝0未必有a＝0或b＝0.(2)|a·b|≤|a|·|b|.(3)a·(b·c)与(a·b)·c不一定相等．————————————————————————3.如图所示，P为△AOB所在平面内一点，向量OA＝a，OB＝b，且P在线段AB的垂直平分线上，向量OP＝c.若|a|＝3，|b|＝2，则c·(a－b)的值为()A．5B．3C.52D.32解析：设AB中点为D，c＝OP＝OD＋DP，所以c·(a－b)＝(OD＋DP)·BA＝OD·BA＋DP·BA＝OD·BA＝12(a＋b)·(a－b)＝12(|a|2－|b|2)＝52.答案：C4．设G为△ABC的重心，若△ABC所在平面内一点P满足PA＋2BP＋2CP＝0，则|AP||AG|的值等于________．解析：取BC的中点D，由已知PA＋2BP＋2CP＝0得PA＝2(PB＋PC)＝4PD，说明P，A，D三点共线，即点P在BC边中线的延长线上，且|PA|＝4|PD|.如图所示，故|AP|＝43|AD|，|AG|＝23|AD|，因此|AP||AG|＝43×32＝2.答案：25．向量a，b，c，d满足：|a|＝1，|b|＝2，b在a方向上的投影为12，(a－c)·(b－c)＝0，|d－c|＝1，则|d|的最大值为________．解析：由投影公式可得b·a|a|＝b·a＝12，∴|b＋a|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝4，|b＋a|＝2.由(a－c)·(b－c)＝a·b－c·(a＋b)＋c2＝0，整理得12＋|c|2＝|c|·|a＋b|·cosθ≤2|c|(θ＝〈c，a＋b〉)，解不等式12＋|c|2－2|c|≤0，得|c|≤1＋22，即|c|的最大值为1＋22.又|d－c|＝1，即d终点的轨迹是以c的终点为圆心、1为半径的圆，故|d|的最大值为|c|max＋1＝2＋22.答案：2＋22[例3](1)(2013·安徽高考)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，则点集{P|OP＝λOA＋μOB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是()A．22B．23C．42D．43平面向量的综合应用(2)已知点R(－3,0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M(