4--第四章-非线性回归模型

第四章非线性回归模型前面我们讨论的经济问题，都是假定作为因变量的经济变量与作为解释变量的经济变量之间存在着线性关系。由此建立线性回归模型进行线性回归分析。这里所说的线性是指：（1）解释变量线性。（2）参数线性。但是，在众多的经济现象中，分析经济变量之间的关系，根据某种经济理论和对实际经济问题的分析，所建立的经济模型往往不符合上面的线性要求，即模型是非线性的，称为非线性模型(Non-linearModel)。非线性模型的参数如何进行估计，如何进行分析，是本章所要讨论的问题。一、可化为线性模型的非线性回归模型二、不可化为线性模型的非线性回归模型三、案例：非线性模型的应用本章要点：第一节可化为线性模型的非线性回归模型对于变量之间是非线性的，但参数之间是线性的模型，可以利用变量代换的方法将模型线性化。下面列举在讨论经济问题时常遇到的几种非线性函数模型，进行变量的代换化为线性模型。当解释变量是非线性的，但参数之间是线性的时，可以利用变量直接代换的方法将模型线性化。下面列举在讨论经济问题时，经常遇到的几种非线性函数模型，进行变量的直接代换化为线性模型。一、非线性回归模型的直接代换1、多项式函数模型2k01122kky=+++...++xxx对于形如的模型为多项式模型。令21122,,,kkkzxzxzx原模型可化为线性形式01122kkyzzzu即可利用多元线性回归分析的方法处理了。例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线s=a+br+cr2c0s：税收；r：税率设=r，=r2，则原方程变换为s=a+b+cc02z1z1z2z例4.1.1某生产企业在1981-1995年间每年的产量和总成本如下表（表4.1.1），试用回归分析法确定其成本函数。表4.1.1年份总成本y（元）产量x（件）年份总成本y（元）产量x（件）198119821983198419851986198719881000028600195003290052400424006290086300100300200400600500700900198919901991199219931994199574100100000133900115700154800178700203100800100012001100130014001500根据成本理论，成本函数可用产量的三次多项式近似表示230123cxxx令23123，，zxzxzx则0112233czzz运用Eviews进行回归,操作步骤为：quickemptygroupprocsmakeequation.结果如下：输出结果4.1.1DependentVariable:YMethod:LeastSquaresDate:03/29/03Time:09:13Sample:19811995Includedobservations:15VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.Z185.702787.17061611.951940.0000Z2-0.0284050.010242-2.7733030.0181Z34.05E-054.22E-069.5934200.0000C2434.6521368.9211.7785190.1029R-squared0.999778Meandependentvar86353.33AdjustedR-squared0.999717S.D.dependentvar60016.44S.E.ofregression1009.303Akaikeinfocriterion16.89509Sumsquaredresid11205609Schwarzcriterion17.08390Loglikelihood-122.7131F-statistic16497.11Durbin-Watsonstat2.275841Prob(F-statistic)0.000000回归方程为123243485.70.030.00004zzzc即23243485.70.030.00004(1368.92)(7.17)(0.01)(0.000)(1.79)(11.95**)(2.77*)(9.59**)cxxxst2、双曲线模型(Double-curveModel)对于形如011yx（4.1.3）的模型，称为双曲线模型，令原模型可化为线性形式01yz（4.1.41zx则即可利用一元线性回归分析的方法处理了。例4.1.2表4.1.2给出了美国1958-1969年间小时收入指数（Y）与城市失业率（X）的数据，试用回归分析法解释二者之间的关系。表4.1.2美国小时工资指数年变化的百分比与失业率（%）年份yx年份yx1958195919601961196219634.23.53.43.03.42.86.85.55.56.75.55.71964196519661967196819692.83.64.35.06.16.75.24.53.83.83.63.5解：根据经济理论，二者之间的关系可以用双曲线模型来表示011yx1zx令01yz则运用Eviews进行回归,操作步骤为：quickemptygroupprocsmakeequation,输出结果如下：输出结果如下4.1.2DependentVariable:YMethod:LeastSquaresDate:03/29/03Time:09:23Sample:19581969Includedobservations:12VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.Z20.587884.6794824.3996070.0013C-0.2594371.008640-0.2572140.8022R-squared0.659360Meandependentvar4.066667AdjustedR-squared0.625296S.D.dependentvar1.271601S.E.ofregression0.778386Akaikeinfocriterion2.487823Sumsquaredresid6.058842Schwarzcriterion2.568640Loglikelihood-12.92694F-statistic19.35654Durbin-Watsonstat0.639368Prob(F-statistic)0.001336所以回归方程为0.259420.5879yz10.259420.5879(1.0086)（4.6794)(0.2572)（4.3996**)yxst即3、半对数模型和双对数模型把函数形式为01lnyx（4.1.5）lnyx(4.16)称为半对数模型。把函数形式为称为双对数函数模型。01lnlnlnyx(4.17)对于这两类函数可作如下代换，令**ln,lnyyxx于是原模型可化为标准线性模型**01yx(4.18)半对数模型通常用于测度许多经济变量和非经济变量的增长率，所以半对数模型又称为增长模型。在实际工作中，双对数模型应用的非常广泛，其原因在于，由于回归线是一条直线（y和x都是对数形式），所以它的斜率（）为一常数。对于这个模型其斜率等于其弹性，因为1*1*（ln)/(ln)/dydyyyEdxdxxx所以弹性为一常数。由于这个特殊的性质，双对数模型又称为不变弹性模型。例3.5.1建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为),,(01PPXfQQ:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变)/,/(010PPPXfQ(*)(**)为了进行比较，将同时估计（*）式与（**）式。4、非线性回归模型的直接代换的应用举例根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居民的总支出间呈幂函数的变化关系:首先,确定具体的函数形式32101PPAXQ对数变换:031210lnlnln)ln(PPXQ考虑到零阶齐次性时)/ln()/ln()ln(012010PPPXQ(***)(****)(****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得0321因此，对（****）式进行回归，就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件。表3.5.1中国城镇居民消费支出（元）及价格指数X(当年价)X1(当年价)GP(上年=100)FP(上年=100)XC(1990年价)Q(1990年价)P0(1990=100)P1(1990=100)1981456.8420.4102.5102.7646.1318.370.7132.11982471.0432.1102.0102.1659.1325.071.5132.91983505.9464.0102.0103.7672.2337.075.3137.71984559.4514.3102.7104.0690.4350.581.0146.71985673.2351.4111.9116.5772.6408.487.186.11986799.0418.9107.0107.2826.6437.896.795.71987884.4472.9108.8112.0899.4490.398.396.519881104.0567.0120.7125.21085.5613.8101.792.419891211.0660.0116.3114.41262.5702.295.994.019901278.9693.8101.398.81278.9693.8100.0100.019911453.8782.5105.1105.41344.1731.3108.2107.019921671.7884.8108.6110.71459.7809.5114.5109.319932110.81058.2116.1116.51694.7943.1124.6112.219942851.31422.5125.0134.22118.41265.6134.6112.419953537.61766.0116.8123.62474.31564.3143.0112.919963919.51904.7108.8107.92692.01687.9145.6112.819974185.61942.6103.1100.12775.51689.6150.8115.019984331.61926.999.496.92758.91637.2157.0117.719994615.91932.198.795.72723.01566.8169.5123.320004998.01958.3100.897.62744.81529.2182.1128.120015309.02014.0100.7100.72764.01539.9192.1130.8X：人均消费X1：人均食品消费GP：居民消费价格指数FP：居民食品消费价格指数XC：人均消费（90年价）Q：人均食品消费（90年价）P0：居民消费价格缩减指数（1990=100）P：居民食品消费价格缩减指数（1990=1002004006008001000120014001600180082848688909294969800Q中国城镇居民人均食品消费特征：消费行为在1981~1995年间表现出较强的一致性1995年之后呈现出另外一种变动特征。建立1981~1994年中国城镇居民对食品的消费需求模型:)ln(92.0)ln(08.0)ln(05.163.3)ˆln(01PPXQ(9.03)(25.35)(-2.28)(-7.34)按零阶齐次性表达式回归