高等代数北大版2-7

一、非齐次与齐交线性方程组的概念二、克兰姆法则及有关定理§2.7Cramer法则一、非齐次与齐交线性方程组的概念1,1,2,,.nijjijaxbin设线性方程组11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(1)非齐次线性方程组．若常数项不全为零，则称（1）为12,,,nbbb简记为§2.7Cramer法则10,1,2,,.nijjjaxin则称（2）为齐次线性方程组．111122121122221122000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax(2)若常数项即120,nbbb简记为§2.7Cramer法则二、克兰姆法则如果线性方程组（1）的系数矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa的行列式，则方程组(１)有唯一解||0DA1212,,,nnDDDxxxDDD§2.7Cramer法则||0DA其中是把行列式中第列(1,2,,)jDjnDj所得的一个n阶行列式，即的元素用方程组（1）的常数项代换12,,,nbbb111,111,11212,122,121,1,1jjnjjnjnnjnnjnnaabaaaabaaDaabaa1122jjnnjbAbAbA1.nssjsbA§2.7Cramer法则1,1,2,,.nijjijaxbin1njijjDaD左111nnijssjjsabAD12(,,,)nDDDDDD(1)验证为(１)的解．12(,,,)nDDDDDD把代入(１)的第i个方程:方程组(1)可写成证11nijjjaDD111nnijssjjsabAD111nnijssjsjabAD1iDbD(1,2,,)ibin右111nnsijsjsjbaAD§2.7Cramer法则,,,,.112nijjijacbin(2)验证解唯一．(,,,)12nccc为(1)的一个解，则设12,,,kknkAAA111nnnikijjiikijiAacbA用系数行列式D中第k列元素的代数余子式依次乘以(2)中n个等式，再把它相加，得§2.7Cramer法则111njjjacb221njjjacb1nnjjnjacb1kA2kA2kA11111nkjjkjAacbA22221nkjjkjAacbA1nnknjjnnkjAacbA111nnnikijjiikijiAacbA求和,,,,.12kkDcjnD§2.7Cramer法则,,,,.12kkDcjnDkkDcD于是．所以等式(*)左边11nnikijjijAac11nnikijjijAac11nnijikjjiaAc11nnijikjjiaAckDc等式(*)右边1niikibA10nijikiDjkaAjk111,111,11212,122,121,1,1kkknkknnnknnknnaabaaaabaaaabaa第列kD§2.7Cramer法则例1：解线性方程组12341234123412345242235232110xxxxxxxxxxxxxxxx解：方程组的系数行列式111112141420231531211D§2.7Cramer法则151112214142231501211D∴方程组有唯一解（1，2，3，－1）.§2.7Cramer法则撇开求解公式，克兰姆法则可叙述为下面的定理则方程组（1）一定有解，且解是唯一的．定理1如果线性方程组（1）的系数行列式0,D推论如果线性方程组（1）无解或有两个不同解，则方程组的系数行列式必为零．D0,D则方程组（2）没有非零解，即只有零解．定理2如果齐次线性方程组（2）的系数行列式§2.7Cramer法则111122121122221122000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（2）对于齐次线性方程组（2）的除零解外的解（若还有的话）称为非零解．注：120nxxx一定是它的解，称之为零解．§2.7Cramer法则推论如果齐次线性方程组（2）有非零解，则它的系数行列式D＝０．注：在第三章中还将证明这个条件也是充分的．即111122121122221122000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax有非零解det()0.ija§2.7Cramer法则．例2：问取何值时，齐次线性方程组有非零解?1231213(5)2202(6)02(4)0xxxxxxx解:522260(5)(2)(8)0204D若方程组有非零解，则∴当时，方程组有非零解．2,5,8