高等代数北大版3-5

§3.5线性方程组有解判别定理设线性方程组(1)11112211211222221122nnnnsssnnsaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb111212122212,nnsssnaaaaaaAaaa11121121222212nnssssnaaabaaabAbaaa其系数矩阵A和增广矩阵分别为A§3.5线性方程组有解判别定理引入向量1111212122221212,,,,nnnssnsnaaabaaabaaba于是（1）可表为1122nnxxx++(1)有解可由向量组线性表出．12,,,n§3.5线性方程组有解判别定理定理线性方程组(1)有解的充分必要条件是(1)的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即()().RARA证：若(1)有解，则可由线性表出，12,,,n所以()().RARA于是向量组与等价，12,,,n12,,,,n§3.5线性方程组有解判别定理反过来，若，则()()RARA1212{,,,}{,,,,}nnrankrank设为12,,,riii的一个极大无关组，12,,,n则也为12,,,riii的极大无关组，12,,,,n∴向量组与等价，12,,,,n12,,,n从而可由向量组线性表出，12,,,n所以，方程组(1)有解．§3.5线性方程组有解判别定理总之，线性方程组(1)有解()().RARA若则(1)有无穷多个解.()()RARAn并且，若则(1)有唯一解；()(),RARAn附则方程组(1)与下面的方程组是同解的.若且r级子式()(),RARAr11110,rrrraaaa11112211211222221122nnnnrrrnnraxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb§3.5线性方程组有解判别定理例1:123423412423423410331730xxxxxxxxxxxxx解1234101110002400048000000021000111014321),(bA12341011101303107310§3.5线性方程组有解判别定理1202101010001200000010001010100012000000对应的方程组为124341020xxxxx1243412xxxxx即所以一般解为123412xxkxkxk（k为任意常数）§3.5线性方程组有解判别定理例2讨论线性方程组是否有解？各不相同．123123222212333331231xxxaxbxcxdaxbxcxdaxbxcxd,,,abcd无解§3.5线性方程组有解判别定理例3设有线性方程组23213213211xxxxxxxxx??,有无穷多个解有解取何值时问解21111111B1111111~2作初等行变换，对增广矩阵),(bAB讨论含有一个参数的非齐次的线性方程组§3.5线性方程组有解判别定理2222111011011~32222120011011~22112100111011§3.5线性方程组有解判别定理,11时当000000001111~B.,3方程组有无穷多解BRAR其通解为33223211cxcxccx.,32为任意实数cc22112100111011~B§3.5线性方程组有解判别定理,12时当22120011011~B这时又分两种情形：:,3,2)1方程组有唯一解时BRAR.21,21,212321xxx22112100111011~B§3.5线性方程组有解判别定理.,故方程组无解BRAR,2)2时300063304211~B22112100111011~B§3.5线性方程组有解判别定理22233)1)(2(2323111111:A法二.,21),(,0)1(有唯一解时且即克拉默法则方程组有唯一解若A.21,21,212321xxx~4211112111122)2(B时，当300063304211§3.5线性方程组有解判别定理.),()(无解BRAR000000001111~1111111111111)3(B时，其通解为33223211xxxxxxx.,32为任意实数xx.,:阵的情况只适用于系数矩阵为方法二简单注§3.5线性方程组有解判别定理例4讨论线性方程组何时有解？何时无解？1231231234324axxxxbxxxbxx在有解的时候求出它的一般解．