拟合优度检验

1假设检验16.4拟合优度检验卡方检验设总体服从离散分布kkpppxxxX2121~，进行n次独立的观测，k个取值出现的频次分别为1,,inik，则21kiiiinnpXnp近似服从12k。这一结果是20世纪初著名统计学家皮尔森（Pearson）发现的结果，用这一结果可以构造观测数据与假设离散分布的拟合程度，该方法称为皮尔森的卡方（2）检验。**********************************************************例16.4.1卢瑟福和盖革在1910年观察了放射性物质放出粒子的个数的情况，共观察2608n次，每次观察间隔7.5秒，记录到达指定区域的粒子数，共记录下10094个粒子，kn表示恰好记录到k个粒子的观察次数。01234567891057203383525532408273139452716ˆ54211407525508394254140682917kkknnp现在希望检验这组数据是否来自于泊松分布。解:设1次观察中出现的粒子数为随机变量X，共有2608次观测，所以1个粒子落入该次观察的概率是12608，共记录下10094个粒子，~,1100942608XB根据泊松定理，ˆ~XP，其中10094ˆ3.872608泊松分布随机变量不同取值的概率29ˆ100ˆˆˆˆ0,1,,9,1!iiiipeippi计算这组观测数据下卡方检验统计量的取值，2100ˆ12.88ˆiiiiNNpYNp，2~10Y，p值12.880.236pPY，因此可以接受这组数据来自于参数ˆ的分布。**********************************************************例16.4.2为检验骰子的均匀性，甲乙两人分别进行试验。甲掷60次，结果出现1—6点的次数分别为：7，6，12，14，5，16；相应的频率依次为：0.117，0.100，0.200，0.233，0.083，0.267；乙掷了9，000，000次，结果出现1—6点的次数分别为：1500300，1502100，1503000，1498500，1496700，1499400；相应的频率依次为：0.1667，0.1669，0.1670，0.1665，0.1663，0.1666。试判断甲、乙所用骰子是否均匀。解在骰子均匀的假设下，设掷一次所的点数为随机变量X，其概率分布为16iPXip，,,,126i。甲掷骰子的试验进行了60次，所以此时60n，10inp，,,,,,123456i，投掷结果的卡方统计量取值为2611iiiinnpYnp2222227106101210141051016108.61021~5Y，p值18.60.1pPY，可以接受均匀假设。3乙掷筛子的试验进行了9，000，000次，所以此时9000000n，1500000inp，,,16k，投掷结果的卡方统计量取值为262116.07iiiinnpYnp22~5Y，p值216.070.01pP，拒绝均匀假设。思考：甲掷筛子所得各点数的频率与理想值16有较明显的差异，而乙掷筛子所得各点数的频率都非常接近理想值16，为什么甲的结果能够通过均匀假设，而乙的结果却反而不能？**********************************************************独立性检验拟合优度的2检验还可以用来判断不同属性的相关性。例16.4.3曾经有人统计了6672名学生使用左、右手的习惯，278032816061311300611309135816672男女合右左合其中男性左手率为0.1，女性左手率为0.08，试问使用左、右手的习惯是否与性别相关？**********************************************************双向列联表的独立性检验4221111jiijststijijjijijiijdcnnnncdnnYdcncdnnn211st**********************************************************例16.4.3（续）男女生使用左右手的数据278032816061311300611309135816672男女合右左合.,22222112266722780606130916672328160613581+66726061309166726061358166723116113091667230061135815656672611309166726113581ijijijijnncdYncdY近似服从1个自由度的2分布，Y的0.95和0.99分位数分别为20.9513.84120.9916.635。050.时，拒绝原假设；.001时，接受原假设jijidncnnn11stijijnn1tiijjcn，1sjijidn5事实上，这组数据确实表现出男女生的左右率有一定的差别，但这种差别又不是特别的显著。而检验统计量的取值也和直观的感觉的差不多，p值在0.01和0.05之间，处于比较边缘状态，结论也就是仁者见仁，智者见智了。虽然无法得到非常确切的结论，但检验统计量的概率意义是完全清晰的，使用者根据自己的尺度得到相应结论。**********************************************************例16.4.4下面是1936年瑞典对25263个家庭的小孩数与收入的调查表\01122330216135772184163695581275550812222105211110293617536403063635322541996387784399831141826116109285173304625263小孩数收入行合计列合计试问家庭的小孩数与收入水平是否相关。解：计算25411ijijijijnncdYncd75.173，检验统计量Y近似服从43=12自由度的2分布，查表可知.20.9991232909，p值小于0.001，拒绝原假设。**********************************************************