2018几何探究题

题型6几何探究题专题类型突破类型1线段的位置关系问题【例1】[2016·吉林中考](1)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A1BC1；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B1C，连接C1B1，则C1B1与BC的位置关系_______________；(2)如图2，当△ABC是锐角三角形，∠ABC＝α(α≠60°)时，将△ABC按照(1)中的方式旋转α，连接C1B1，探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；(3)如图3，在图2的基础上，连接B1B，若C1B1＝BC，△C1BB1的面积为4，则△B1BC的面积为________．32【思路分析】(1)根据旋转的性质得到∠C1BC＝∠B1CB＝90°，BC1＝BC＝CB1，根据平行线的判定得到BC1∥CB1，推出四边形BCB1C1是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；(2)过点C1作C1E∥B1C于点E，于是得到∠C1EB＝∠B1CB，由旋转的性质得到BC1＝BC＝B1C，∠C1BC＝∠B1CB，等量代换得到∠C1BC＝∠C1EB，根据等腰三角形的判定得到C1B＝C1E，等量代换得到C1E＝B1C，推出四边形C1ECB1是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；(3)设C1B1与BC之间的距离为h，由已知条件得到根据三角形的面积公式得到于是得到结论．解：(1)平行．∵把△ABC逆时针旋转90°，得到△A1BC1；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B1C，∴∠C1BC＝∠B1CB＝90°，BC1＝BC＝CB1，∴BC1∥CB1，∴四边形BCB1C1是平行四边形，∴C1B1∥BC.故答案为：平行．(2)C1B1∥BC.证明如下：如图，过点C1作C1E∥B1C，交BC于点E，则∠C1EB＝∠B1CB，由旋转的性质知，BC1＝BC＝B1C，∠C1BC＝∠B1CB，∴∠C1BC＝∠C1EB，∴C1B＝C1E，∴C1E＝B1C，∴四边形C1ECB1是平行四边形，∴C1B1∥BC.(3)由(2)知，C1B1∥BC，设C1B1与BC之间的距离为h，满分技法►判断两条线段的位置关系时，观察图形，根据图形先推测两条线段的关系是平行还是垂直．若平行则通过以下方法证明：(1)平行线判定定理；(2)平行四边形对边平行；(3)三角形中位线定理等；若垂直可考虑以下途径：(1)证明两线段所在直线的夹角为90°；(2)两线段是矩形的邻边；(3)两线段是菱形的对角线；(4)利用勾股定理的逆定理判定两线段所在的三角形是直角三角形；(5)利用等腰三角形“三线合一”性质等方式证明．满分必练►1.[2017·佳木斯中考]已知△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°.连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH.(1)如图1所示，易证：(2)将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．解：(1)证明：∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，∴OC＝OD，OA＝OB.∵在△AOD与△BOC中，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC.∵点H为线段BC的中点，∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD.又∵∠OAD＋∠ADO＝90°，∴∠ADO＋∠BOH＝90°，∴OH⊥AD.(2)①结论：证明如下：如图1，延长OH到点E，使得HE＝OH，连接BE.易证△BEO≌△ODA，∴OE＝AD，由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO，∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°，∴OH⊥AD.②结论：如图2，延长OH到点E，使得HE＝OH，连接BE，延长EO交AD于点G.易证△BEO≌△ODA，∴OE＝AD.由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO，∴∠DAO＋∠AOF＝∠EOB＋∠AOG＝90°，∴∠AGO＝90°，∴OH⊥AD.[2016·东营中考]如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°θ90°)时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝时，求线段DH的长．解：(1)BD＝CF.证明如下：由题意，得∠CAF＝∠BAD＝θ，在△CAF和△BAD中，23∴△CAF≌△BAD(SAS)，∴BD＝CF.(2)①证明：由(1)，得△CAF≌△BAD，∴∠CFA＝∠BDA.∵∠FNH＝∠DNA，∠DNA＋∠NAD＝90°，∴∠CFA＋∠FNH＝90°，∴∠FHN＝90°，即BD⊥CF.②如图，连接DF，延长AB交DF于点M.∵四边形ADEF是正方形，AD＝，AB＝2，∴AM＝DM＝3，BM＝AM－AB＝1.∵∠MAD＝∠MDA＝45°，∴∠AMD＝90°，∴DB＝又∠DHF＝90°，∠MDB＝∠HDF，∴△DMB∽△DHF，3.[2017·鹤岗中考]在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.若四边形ABCD是正方形如图1，则有AC＝BD，AC⊥BD.旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？(直接写出)若四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．解：图2结论：AC′＝BD′，AC′⊥BD′.理由：设AC与BD′的交点为O′.∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD.∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′＝OD，OC′＝OC，∠D′OD＝∠C′OC，∴AO＝BO，OC′＝OD′，∠AOC′＝∠BOD′.在△AOC′与△BOD′中，∴△AOC′≌△BOD′，∴AC′＝BD′，∠OAC′＝∠OBD′.∵∠AO′D′＝∠BO′O，∠O′BO＋∠BO′O＝90°，∴∠O′AC′＋∠AO′D′＝90°，∴AC′⊥BD′.图3结论：BD′＝理由：设AC与BD的交点为O′.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO.∵∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′＝OD，OC′＝OC，∠D′OD＝∠C′OC，【例2】[2016·菏泽中考]如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.(1)如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°.①求证：AD＝BE；②求∠AEB的度数．(2)如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：类型2线段的数量关系问题【思路分析】(1)①通过角的计算找出∠ACD＝∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC＝BC，DC＝EC”，利用全等三角形的判定(SAS)即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD＝BE；②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC＝∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；(2)根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用(1)的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．解：(1)①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB，∠DCE＝∠DCB＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE.∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC.在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE.②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°－∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°.∵∠BEC＝∠CED＋∠AEB，且∠CED＝50°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.(2)证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠CDM＝∠CEM＝∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°，DM＝EM.在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，∴DE＝2DM＝∵∠BEC＝∠ADC＝180°－30°＝150°，∠BEC＝∠CEM＋∠AEB，∴∠AEB＝∠BEC－∠CEM＝150°－30°＝120°，∴∠BEN＝180°－120°＝60°.在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，满分技法►1.三条线段之间的数量关系(1)在证明三条线段之间的和差问题时，常用“截长补短”作辅助线的方法可使问题得到解决，在补短法中，要根据具体的情况选择补短法．如证a＋b＝c时可延长线段a，使延长部分等于b，然后再证明延长后的线段与c相等，也可以使延长后的线段与c相等，再证明延长的部分与线段b相等；(2)在截取中，关键是分点的选取，根据图形特点利用平行、垂直等关系取得分点，把长线段分成两部分或把短线段延长；(3)在证明两条线段相等时，可分别找出两条线段所在三角形，通过证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明两条线段相等．如果变化后两条线段在同一个四边形中，也可证明四边形是特殊四边形，通过特殊四边形的性质证明两条线段相等．2．两条线段之间的数量关系在数量关系猜想中，证明两条线段相等的情况较多，有时也出现证明两线段的倍数关系，如AB＝2CD或AB＝图形模型证明，具体情况如下：(1)利用三角形的中位线或直角三角形证明(2)利用等腰直角三角形证明(3)利用含30°角的直角三角形证明满分必练►4.[2017·杭州中考]如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．解：(1)结论：AG2＝GE2＋GF2.理由：如图，连接CG.∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于对角线BD对称．∵点G在BD上，∴GA＝GC.∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF＝GE.在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GF2＋GE2.(2)如图，作BN⊥AG于点N，在BN上截取一点M，使得AM＝BM.设AN＝x.∵∠AGF＝105°，∠FBG＝∠FGB＝∠ABG＝45°，∴∠AGB＝60°，∠GBN＝30°，∠ABM＝∠MAB＝15°，6.[2017·十堰中考]已知O为直线MN上一点，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO＝90°，AC∥OP交OM于C，D为OB的中点，DE⊥DC交MN于E.(1)如图1，若点B在OP上，则①AC________OE；(填“”，“＝”或“”)②线段CA，CO，CD满足的等量关系式是________；(2)将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α(0°α45°)，如图2，那么(1)中的结论②是否成立？请说明理由．(3)将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α(45°α90°)，请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA，CO，CD满足的等量关系式________．解：(1)①AC＝OE②CA＋CO＝(2)结论②仍然成立，理由：如图1，连接AD.∵△OAB是等腰直角三角形，且D为OB的中点．∴AD⊥OB，AD＝DO，∴∠ADO＝90°，∴∠ADC＋∠CDO＝90°.∵DE⊥CD，∴∠CDE＝∠ODE＋∠CDO＝90°，∴∠ADC＝∠ODE.∵AC⊥MN，∴∠ACO＝90°，∴∠CAD＋∠DOC＝360°－90°－90°＝180°.∵∠DOE＋∠DOC＝180°，∴∠CAD＝∠DOE.