成人高考数学专升本

专升本2015年成考数学复习成考数学的所有知识点在辅导书中的内容提要部分.对知识点有三个层次的不同要求，三个层次由低到高顺序排列，且高一级层次要求包含低一级要求。三个层次分别为：知识点及要求了解：要求考生对所列知识的含义有初步的认识，识记有关内容，并能进行直接运用。理解、会：要求考生对所列知识的含义有较深的认识，能够解释、举例或变形、推断，并能运用知识解决有关问题。掌握：要求考生对所列知识能够综合运用，并能解决较为复杂的数学问题。试卷题型分析：一、选择题（10小题每题4分总共40分）二、填空题（10小题每题4分总共40分）三、解答题（8小题，前5题每题8分后3题每题10分，总共70分）合理安排时间，先易后难，先将会做的做好，不会做的暂时放下。“有所为有所不为”.即有所侧重,对于各个板块的知识,侧重于自己熟悉的,对于自己没学过的,或要花相当大的力气才能搞懂的,要学会放弃.找往年的题目来做一下,多做几套模拟题,找到考试的感觉.同时,也可检验自己擅长于哪一部分内容的题.考试经验:第一分部初等函数一、基本初等函数最常用，最常见的5种基本初等函数：常数函数：y=c(c为常数)、幂函数：y=xα(α为实数)、指数函数：y=ax(a＞0，a≠1，a为常数)、对数函数：y=logax(a＞0，a≠1，a为常数)、三角函数：正弦函数y=sinx,和余弦函数y=cosx.要求大家要牢牢记住上述函数，所有知识基本上是围绕基本初等函数展开的。二、初等函数定义2基本初等函数(常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、)经过有限次的加、减、乘、除(分母不为零)的四则运算，以及有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，叫做初等函数.如果一个函数必须用几个式子表示，那么它就不是初等函数，例如分段函数：f(x)=就不是初等函数，我们将这样的函数，叫做非初等函数.三、复合函数定义1若函数y=f(u),u=g(x),且u=g(x)的值域或部分值域包含在f(u)的定义域中,则变量y通过变量u与变量x建立了对应关系,这个对应关系称为y是x的复合函数,u是中间变量,x是自变量,通常将y=f(u),u=g(x)合并写成y=f［g(x)］不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;复合函数也可以由两个以上的函数经过复合构成.【例1】指出下列函数的复合过程:【解】(1)y=cos2x是由y=u2,u=cosx复合而成的.(2)及u=x2+2x复合而成的.第二部分极限与连续本章内容在考试中约占15%，22分左右。重点：1.求极限，2.函数在一点处连续的判定极限的运算法则例：例：4123lim4xxx)321)(4(82lim4xxxx3212lim4xx.31(1)1sinlim0xxxxxysinxoy11)()(sinlim0)(xuxuxu更一般地：两个重要极限2)4sin(lim)122xxx)2(4)4sin(lim222xxxx)2(lim4)4sin(lim2222xxxxx.441【例】求下列极限：4sincos2)lim4πxxxπx)(4xuπx令.244sin2lim04πxπxπx4cos21sin212lim4πxxxπx第二个重要极限xxx11lim;exxx101lim.ee101lim11lim其本质为：2111limxxx例：1.00型未定式.定理1如果函数f(x)和g(x)满足(1)当x→a时，f(x)→0，g(x)→0，(2)在点a的去心邻域内可导，即f′(x)，g′(x)存在，且g′(x)≠0,(3)极限)()(limxgxfax存在，则.)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax洛必达法则如果x→a时，)()(xgxf仍是“”型不定式，并且f′(x),g′(x)像f(x)，g(x)一样满足定理的条件,00则仍可继续使用洛必达法则，即.)()(lim)()(lim)()(limxgxfxgxfxgxfaxaxax型未定式如果f(x)，g(x)满足(1)当x→a时，f(x)→∞，g(x)→∞(2)在点a的去心邻域内可导，即f′(x)，g′(x)存在，且g′(x)≠0，(3)极限存在(或为无穷大)，则)()(limxgxfax.)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax求极限)()(lim)()(limxgxfxgxf型的极限满足若干条件后有1、洛必达法则例3求.sinlim0xxx.11coslimsinlim00xxxxx解：例1、(1)求解原式lim1x型00266lim1xxx23注意:不是266lim1xxx166lim1x332x1232xx型00未定式不能继续用洛必达法则!;1lim)2(0xexx解：xxe0lim原式型0001.1xxe0lim例求.)1ln(lim20xxx解:原式是“”不定式且满足洛必达法则条件，故00xxxxxx211lim)1ln(lim00020例求.lnlimxxx解:原式是“”型不定式，满足定理条件，故xxxlnlim.01limxx函数的连续性初等函数的连续性性质3：初等函数在其定义域区间上连续.基本初等函数：常值函数、幂函数、指数函间上都连续.、在其定义域区函数、对数函数、三角函数注意：1.初等函数仅在其定义域区间上连续,在其定义域内不一定连续.2.由于初等函数在其定义域（或定义域区间）上具有连续性，函数的连续性的考试内容主要是针对分段函数的连续性。解：例：•例：函数2,0()0______.,06xexfxxaaxx在处连续，则第三部分导数与微分这部分在微积分中占有极重要的位置，在考试中约占30%，45分左右。主要内容：基本初等函数的导数，微分公式，四则运算求导，复合函数求导，利用导数研究函数的性质等。0000()()(,()),()tan,()fxyfxMxfxfx表示曲线在点处的切线的斜率即为倾角一、导数的几何意义oxy()yfxT0xM切线方程为).)((000xxxfyy存在且不等于零时，当)()1(0xf例11(,2),2.yx求曲线在点处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程解根据导数的几何意义知,所求切线的斜率为21xyk21)1(xx2121xx4所求切线方程为),21(42xy.044yx即基本求导法则与导数公式axeeaaanxxxxcxaxxxxnnln1)(log.6)(.5ln).(4).(3).(2,0).111（217.(ln)8.(sin)cos9.(cos)sin10.()secxxxxxxtgxx一、函数和、差、积、商的求导法则定理(),(),(),uxvxxx如果函数在点处可导则它们的和、差、积、商分母不为零在点处也可导并且2(1)[()()]()();(2)[()()]()()()();()()()()()(3)[](()0)(.)()uxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxuxvxuxvxvxvxvx函数的求导法则和差积商的求导法则；(uv)=uv;(uv)=uv+uv;.2vvuvuvu例1.sin223的导数求xxxy解23xyx4例2.ln2sin的导数求xxy解xxxylncossin2xxxylncoscos2xxxln)sin(sin2xxx1cossin2.cosx.2sin1ln2cos2xxxx例3.tan的导数求xy解)cossin()(tanxxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosxx22seccos1.sec)(tan2xx即复合函数的求导法则定理dxdududydxdyxgufdxdyxxgfyxguufyxxgu或且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数)()(,)]([,)()(,)(即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导。例.sinln的导数求函数xy解sinln,uxyu令，则y'(ln)'(sin)'uxxucos1xxsincosxcot.)1(sin102的导数求函数xy例)1(sin)1(sin10292xxdxdyxxx2cos)1(sin10292.cos)1(sin20292xxx210sinuxyu令+1，则三、隐函数求导0),(yxF称方程所确定的函数为隐函数；•定义隐函数求导法：两边求导即可求得隐函数的导数.应用复合函数求导法把方程F(x,y)=0三、隐函数求导0),(yxF称方程所确定的函数为隐函数；•定义隐函数求导法：将方程F(x,y)=0的两端对x求导，在求导过程中将y看成x的函数，y的函数看成是x的复合函数，求导后，解出y’即可求得隐函数的导数。注意：式子中允许有y出现。例.,00xyxdxdydxdyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程解,求导方程两边对x0dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy,0,0yx由原方程知000yxyxxexyedxdy.1函数的微分dydxy)(xdfdxxf)(求函数的微分，关键是求出函数的导数。例3设y=,求dy.解yxxln2xx1x1lnxdy2ln1xx.ln12dxxx例4设y=(2x+1)5+sinx2,求dy.解y4)12(5x22cosxx224cos2)12(10xxxdy.]cos2)12(10[24dxxxx单调性、极值定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则：1、函数的单调性(1)若在(a,b)内(2)若在(a,b)内则f(x)在区间（a,b）上单调增加.,0)(xf则f(x)在区间（a,b）上单调减少.,0)(xf例2解.31292)(23的单调区间确定函数xxxxf).,(:定义域12186)(2xxxf)2)(1(6xx得，解方程0)(xf.2,121xx时，当1x,0)(xf上单调增加；在]1,(时，当21x,0)(xf上单调减少；在]2,1[时，当x2,0)(xf上单调增加；在),2[单调区间为，]1,(，]2,1[).,2[求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导，令导数等于0，解方程，求出驻点；(3)列表（根据分界点把定义域分成相应的区间；判断可疑点是否为极值点）(4)下结论。例确定函数的单调区间解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(该函数的定义域是R,和极值.极大值2极小值1故的单调增加区间为,)1,();,2(单调减少区间为).2,1(极大值是;2)1(f极小值是.1)2(f例解.593)(23的极值求出函数xxxxf963)(2xxxf，令0)(xf.3,121xx得驻点列表讨论x)1,(),3()3,1(13)(xf)(xf0