§16.1.1坐标轴平移(第1、2课时)

§16.1坐标轴平移？这是两幅意大利比萨斜塔的照片，你知道为什么第二幅照片中的斜塔不斜了呢？横看成岭侧成峰远近高低各不同题西林壁苏轼为什么会这样呢？探究（1）如图2-1，以O为原点，A点的坐标是什么？以为原点，A点的坐标是什么？OA0123x图2-1OOA:20-1-2A:-1探究（2）如图2-2，在xoy坐标系中，B点的坐标是什么？在坐标系中，B点的坐标是什么？xoyOB-112yx图2-212Oxy-1-3-21B:(-1,2)(-3,1)定义只改变坐标原点位置，而不改变坐标轴方向和单位长度的坐标系变换，叫做坐标轴平移．yxOA(x',y')A(x,y)O'(x0,y0)xy例1如图2-3，坐标系是原坐标系xoy平移后得到的一个新坐标系，在xoy坐标系中的坐标是（-2，-1），分别写出点A、B、C、D在各坐标系中的坐标。xoyoOB-112yx图2-312-2-3-1ACDo解(1)将图2-3中的与轴擦除：oxoyOB-112yx图2-312-2-3-1ACDOxy由此得：OB-112yx12-2-3-1ACD点ABCD坐标系xoy中的坐标（1，0）（-2，1）（0，-1）（-1，-1）解(2)将图2-3中的与轴擦除：OB-112yx图2-312-2-3-1ACDOxyoxoy点ABCD（3，1）（0，2）（2，0）（1，0）得：B1212-1ACD3xyO由此得:点A、B、C、D在坐标系中的坐标：xoy坐标系中的坐标xoy点ABCD坐标系xoy中的坐标（1，0）（-2，1）（0，-1）（-1，-1）点ABCD（3，1）（0，2）（2，0）（1，0）坐标系中的坐标xoyxxxxyyyy1-20-13021-2-2-2-201-1-11200-1-1-1-1(2,1)O是新坐标系原点在原坐标系中的坐标.坐标系xOy平移后得到新坐标系xOy，O在原坐标系xOy中的坐标是(h，k)，点A在原坐标系下的坐标为(x，y),在新坐标系下的坐标为（x，y）则有其中(x，y)为点在坐标系xOy中的坐标，(x，y)为点在坐标系xOy中的坐标．这个公式叫做坐标轴平移的坐标变换公式．xxhyyk记住公式的特征哦.xxhyyk或xxhyyk一“老”带二“新”将坐标原点平移至O(1，2)，求下列各点在新坐标系中的坐标：A(0，8)、B(1，2)、C(6，0)、D(-1，-2)、E(-5，7)．解：根据题意，x0=1，y0=2，进而各点在新坐标系中的坐标分别是：'1'2xxyyxxhyyk由公式得：A(-1，6)、B(0，0)、C(5，-2)、D(-2，-4)、E(-6，5)将坐标原点平移至O(3，1)，求下列各点在新坐标系中的坐标：A(2，5)、B(-1，1)、C(3，6)、D(-5，-1)、E(0，7)．解：根据题意，x0=3，y0=1，由公式xxhyyk得：'3'1xxyy进而各点在新坐标系中的坐标分别是：A(-1，4)、B(-4，0)、C(0，5)、D(-8，-2)、E(-3，6)已知点A在坐标系xOy中的坐标是(-3，1)，在新坐标系xOy中的坐标是(4，2)，问坐标原点O移到了何处？解：由公式xxhyyk得347hxx121.kyy3,1;xy4,2.xy∴坐标原点O移到了O'(-7，-1)的位置．平移坐标轴，将原点移至O(-1，2)，已知A、B两点在新坐标系xOy中的坐标分别是(3，2)、B(-4，6)．求A、B两点在原坐标系xOy中的坐标．解：h=-1，k=2，由xxhyyk得12xxyy∴A、B两点在坐标系xoy中的坐标为A（2,4），B（-5,8）平移坐标轴，点A（0,2）在新坐标系中的坐标为（-2,3），（2）点Ｃ(3,-2)在新坐标内的坐标.求：（1）点B（6,1）在原坐标系内的坐标；yx–1–2–3–41234–1–2–3–412345O例3：平移坐标轴，把原点移到O′（2，-1），求下列曲线在新坐标系中的方程：（1）x=2;(2)y=-1;(3)y=x+1.解：因为坐标系发生了改变，曲线上每一点的坐标都相应地改变，所以曲线的方程也要改变.代入原方程，得到新方程：21xxyy则，(1)0x20y（）34yx（）设曲线上任意一点坐标是('')xy，y'x'–1–2–3–41234–1–2–3–412345O'平移坐标轴，使原点O移动到O′(-2，1)，求曲线x2＋4x－y＋5＝0在新坐标系中的方程．解：根据题意，h=-2，k=1代入原方程，得整理，得y′=x′2．(x′-2)2＋4(x′-2)－(y′+1)+5＝0由公式得xxhyyk21xxyy曲线在新坐标系中的方程是y′=x′2．x2＋4x－y＋5＝0y=x2＋4x＋5抛物线yx–1123456789–1–2–3–4–5–6123O平移坐标轴，使原点O移动到O′(-2，1)，求曲线x2＋4x－y＋5＝0在新坐标系中的方程．y'x'–1–2–3–412345678–1–2–3–4–5–6–7123O'顶点(-2，1)即平移坐标轴使原点移动到抛物线的顶点，则y=x2＋4x＋5y′=x′221(2)yx21xxyy=21xxyy或21(2)yx平移坐标轴，化简曲线方程x2＋4x－y＋5＝0．解：由x2＋4x－y＋5＝0得因此将坐标轴平移，使原点O移到O′(-2，1)，(x＋2)2＝y－1．若令x＋2＝x′，y－1＝y′，则曲线方程可化为x′2＝y′．曲线方程可化为x′2＝y′．yx–1–2123456–1–2–3–4123Oy'x'–1–2123456–1–2–3–4123O'2450xxy＋－＋＝245yxx2(2)1yx＋2yx2yaxbxc224()42acbbyaxaa2442acbyyabxxa24()24bacbOaa，22yax平移坐标轴，使原点O移动到O′(-1，2)，求曲线x2＋y2＋2x－4y＋1＝0在新坐标系中的方程．12xxyy，22(1)(2)2(1)4(2)10xyxy222144224810xxyyxy224xyy'x'–1–2–312345–1–2–3–41234O'x2＋y2＋2x－4y＋1＝02221441410xxyy22(1)(2)4xyyx–1–212345–1–2–3–4–512O12xxyy圆心(-1，2),半径为2的圆原点O移动到O′(-1，2)224xy利用坐标轴平移，化简圆的方程x2＋y2＋2x－4y＋1＝0．Oxy-1212-2-3O′x2＋y2＋2x－4y＋1＝0配方化为标准方程得22(1)(2)4xy将坐标原点平移到O′（-1,2），12xxyy，方程简化为224xyxy220xyDxEyF22224()()224DEDEFxy22DxxEyy令,22DEO即将坐标原点平移到（），222244DEFxy方程简化为224,)222DEDEF（圆心(，半径）-3,4,xxyy令22-3425;xy分析：原方程化为（）（）22(1)680;xyxy2,xy则曲线方程可化简为利用坐标轴平移化简下列曲线方程，并指出新坐标原点在原坐标系中的坐标：Oxy-1213-2-4O′223425.Oxy因此将坐标轴平移，使原点移至（，-），则曲线方程可化简为2(2)4320.xxy2243202)3(2),xxyxy分析：将变形为（222.Oxy因此将坐标轴平移，使原点移至（-，-），则曲线方程可化简为2,2,xxyy令利用坐标轴平移化简下列曲线方程，并指出新坐标原点在原坐标系中的坐标：2x=,y则曲线方程可化简为