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重构算法基础笔记静蓉13、1、28第一章•第一节简介•第二节CT历史和展望•第三节基本参数•第四节基本断层技术经典断层成像技术对人体被选中的感兴趣的断层清晰成像，使得这一层上方和下方模糊及几乎不可见第一节•CT的基本思想取一个理想的X射线源，它发出极细的笔束X射线，在其表面置一个检测器，测出X射线源发出的强度I，以及经过物体衰减以后达到检测器的X射线强度I，再将X射线源与检测器在观察平面内同步平移一定步数N。每平移一步，均做同样测量。如此得到易主数据。然后旋转一个小角度p，再同步平移N步，取新角度下的另一组数据。如此重复。•好处排除无关截面对成像断面图像的干扰，彻底解决投影重叠问题。可以用计算机将感兴趣的区域的某些细节差别变换成可分辨的CRT上的灰度差异，解决密度分辨率低的问题。第二节历史和展望•起源：雷唐反变换可以从投影获得重建图像•医学应用：“用线积分表示一函数的方法及其在放射学上的应用”•第五代X—CT：DSR•工业应用：无损检测农林地球物理第三节基本概念•投影•CT数与线性衰减系数有关，水的衰减系数为0•质量评价参数：常常用模型作为原始图像1、归一化均方距离判据d2、归一化平均绝对距离判据r3、最坏情况距离判据e•点扩散函数线性移不变系统的响应时输入函数与系统点扩散函数的卷积•h（x,y）=v(x,y)理想情况•不等于时，函数底部必然扩展成裙边•线扩散函数•边扩散函数第四节经典断层投影成像术•纵轴直线断层成像术第二章•第一节反投影重建算法的物理概念•第二节反投影重建算法的数学描述•第三节正弦图•第四节反投影重建算法的实现反投影重建算法第一节反投影重建算法的物理概念•反投影重建图像的思想：断层平面中的某一点的密度值可看做这一平面内所有经过该点射线（反投影）之和(的平均值)整幅图像可看做搜有方向下的反投影累加而成。•反投影：用某一视角y下的投影数据p沿着投影方向在整个空间均匀的抹一次，从而得到一个二维分布，并赋予密度的量纲这就是反投影。•伪迹：经过反投影重建后的图像，原来像素值不为零的点现在任然很突出，原来像素值为零的点现在像素值不再为零。•使重构图像更接近原图像，将数据除以投影的数目N（方向的数目|可能经过某点的最大射线数目）第二节反投影重建算法的数学描述•把经过某点的所有射线投影的平均值看做该点的密度值。•点扩散函数不完美，反投影重建算法具有星状伪迹第三节正弦图•要求对任意一点找出经过该地那的所有射线，从而得到该点的射线投影均值•正弦曲线经过的地方就是存贮器中的某一地址。第四节反投影重建算法实现•内插：紧邻内插ndor（n+1）d线性内插nd+[（n+1）d-nd]/d*[rcos(a-m)-nd]第三章•第一节概述•第二节投影定理•第三节卷积反投影•第四节Radon反变换•第五节计算机实现滤波反投影重建算法第一节概述•交换“滤波”和“反投影”的执行次序，从而用更加简单的方法来去除伪迹•即：在反投影重建以前把投影数据先行修正滤波，再把修正后的投影数据进行反投影运算。第二节投影定理•投影定理==中心切片定理•f(x,y)沿着y轴的投影的一维傅里叶变换给出了f(x,y)的二维傅里叶变换F(w1,w2)在w1轴上的值（或F(w1,w2)在w2=0上的值）•投影图像重建问题的流程：1.采集不同视角下的投影2.求出各自投影的一维傅里叶变换3.将上述各切片汇集成图像的二维傅里叶变换4.求二维傅里叶反变换得到重建图像•投影定理的物理意义中心切片定理的定义•密度函数f（x，y）在某一方向上的投影函数gθ（R）的一维傅里叶变换函数Gθ（p），是密度函数f（x，y）的二维傅里叶变换F（p，θ）在p，θ平面上沿同一方向过原点直线上的值。中心切片理论2、反投影法•反投影法(backprojection)又称总和法，是利用投影数值近似地复制出值的二维分布。•基本原理是将所测得的投影值按其原路径平均的分配到每一点上，各个方向上投影值反投影后，在影像处进行叠加，从而推体出原图像。反投影法2/29/20202/29/2020第三节第一类滤波反投影：卷积反投影•把在固定视角下测得的投影P经过滤波得到滤波后的投影G•在每一个视角下，把G反投射与该视角下的视线•将上一个步骤中的反投影值对所有的视角进行累加计算，得到重建的图像第四节Radon反变换•在投影之后，反投影运算之前，有两个环节：微分和滤波•滤波函数（滤波器的点扩散函数）：h(x')=1/Πx'•由于微分项的存在，公式对于投影P的微小误差会比较铭感。•而P是测量值，容易产生误差，故此方法未能得到应用第五章•第一节概述•第二节迭代重建算法的基本问题•第三节基本图像的选取•第四节最优准则•第五节ART•第六节求解线性等式方程组的松弛法语SIRT•第七节ART/SIRT与卷积反投影重建算法的比较迭代重建算法第一节概述•迭代法又叫做直接重建法，分为：–ART（AlgebraicReconstructionTechniques）–SIRT(SimultaneousIterativeReconstructionTechniques)•迭代重建法是以“估计理论”作为坚实的数学基础的•缺点：速度慢，不能用硬件实现•将迭代法和反投影算法相结合：–1.在极短的时间间隔里面采集不完整的投影数据–2.利用迭代法补齐数据–3.用卷积反投影的方法重建图像第二节迭代重建算法的基本问题•射线的定义：–射线和（raysum）–i号射线经过j号像素中心则Rij==1•由P=RX中引入误差向量，变为P=RX+E。我们先考虑到误差的因素给出一个估计的值，值得他在某一最优准则下达到最佳。•我们的问题就归结为：根据测量得到的矢量P和等式P=RX+E,估计图像矢量x•由主要的三个步骤来完成：–1.选取基本函数–2.选择最优准则–3.求出系数第三节基本图像的选取•像素基本图像:–把图像分成J个小方块射线穿过者取值为1–缺点：重建后的图像有不连续的边界，图像不光滑，有模型噪声。•双线性元基本图像–有限元法：先把感兴趣去分为有限个小单元多边形（这里用矩形）对每个多边形定义一个两变量的分段多项式函数，该函数在多边形外面取值为0.当单元多边形各节点上的值确定以后，利用分段多项式函数作为内插函数就可求得单元多边形内部的值。–这些具有“窄小底部的分段多项式”成为“有限元”，可以作为基本图像，一次构成总图像。–双线性元素b(x,y)构成了底部为四个像素大小的金字塔，整个图像可看成这些基本图像的线性组合。–优点：可以用有限个非零的展开系数表示被逼近图像的局部变化。高阶有限元可以消除像素基本图像法所产生的不连续图像。-第四节最优准则•最小二乘方准则•最大均匀性准则•平滑准则•最大熵准则•贝叶斯准则第五节ART•假设初始图像为x0，每一次迭代得到近似的图像xi，每次矫正一次考虑一条射线的射线和矫正该射线经过的像素