第09章压杆稳定

工程力学1第9章压杆稳定工程力学2本章内容9-1、压杆稳定的概念9-2、确定压杆临界载荷的欧拉公式9-3、欧拉公式的适用范围临界应力的经验公式9-4、压杆稳定的校核与合理设计工程力学3§9-1压杆稳定的概念压杆在工程实际中经常遇到，例如千斤顶的顶杆、内燃机的连杆、桁架中的抗压杆件等等。承受轴向压力的较短粗杆件，在失效前始终保持直线形式的平衡状态，可以用强度条件来校核其是否安全。对承受轴向压力的细长杆件，还需要进行稳定性计算。稳定性问题是与强度问题不同性质的另一类问题。结构设计除了须保证足够的强度、刚度外，还须保证结构具有足够的稳定性。工程力学4不稳定平衡稳定平衡微小扰动就使小球远离原来的平衡位置微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置§9-1压杆稳定的概念工程力学5压杆稳定：压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳定性。（指受压杆件其平衡状态的稳定性）临界压力：压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力，也称作临界荷载。失稳：细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，由直线形状的平衡而过渡到曲线形状的平衡的现象称为丧失稳定。§9-1压杆稳定的概念工程力学6§9-2确定压杆临界载荷的欧拉公式一、两端铰支细长压杆的临界力当轴向压力F等于临界载荷Fcr时，压杆才可能由直线平衡过渡到弯曲形状的平衡。故临界载荷为：保持直线平衡的最大载荷；保持弯曲平衡的最小载荷。设压杆在轴向压力F作用下处于微弯平衡状态，则由压杆挠曲线的近似微分方程有：22d()dwMxxEI压杆x截面上的弯矩为：()MxFw则有：222d0dwkwx2FkEI工程力学7§9-2确定压杆临界载荷的欧拉公式它的解可表示为()sincoswxAkxBkx其中，A、B为积分常数，由压杆的边界条件确定。在x=0处，w=0，有：0B在x=l处，w=0，有：sin0Akl由于A0，则有：sin0kl解之得：(0,1,2,3,)klnn222nEIFl两端铰支细长压杆的临界载荷为：22crEIFl工程力学82cr2πEIF=(μl)E材料的弹性模量；I压杆横截面对中性轴的最小惯性矩；l压杆的相当长度或有效长度；长度因数，与杆端支承有关。两端铰支：μ＝1；一端固定，一端自由：μ＝2；两端固定：μ＝0.5；一端固定，一端铰支：μ＝0.7；二、其他支承情况下细长压杆的临界力不同支承情况的压杆其边界条件不同，临界力值也不同。也可由挠曲线比较得出欧拉公式的通式：不同支承情况的临界力公式可查表确定。§9-2确定压杆临界载荷的欧拉公式工程力学9§9-2确定压杆临界载荷的欧拉公式例：一根两端铰支的20a号工字钢压杆，长L=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试确定其临界压力。22crEIFl22682220010158103463crEIFkNl解：查表得20a号工字钢：Iz=2370cm4，Iy=158cm4。根据临界压力计算公式由此可知，若轴向压力达到346kN时，此压杆便会丧失稳定得：工程力学10一、临界应力与柔度222222222crcrFEIEIEEiAAlAll临界应力：临界压力作用下压杆处于临界直线平衡状态时的应力。IiAli＝§9-3欧拉公式的适用范围临界应力的经验公式欧拉公式是在线弹性条件下建立的，故，只有在材料服从胡克定律，即杆内的应力不超过材料的比例极限时，才能用欧拉公式计算压杆的临界压力。截面对中性轴的惯性半径，仅与截面形状和几何尺寸有关。压杆的柔度或细长比，综合反映了压杆的长度、约束方式与截面几何性质对临界应力的影响工程力学11二、欧拉公式的适用范围222crpppEE或p—仅与材料的弹性模量及比例极限有关。2200000200,200,100200ppEGPaEPa§9-3欧拉公式的适用范围临界应力的经验公式欧拉公式仅适用于杆横截面上的应力不超过比例极限的情况。即：≥p时，欧拉公式才成立。这时，压杆称为大柔度杆。对于Q235钢：工程力学12§9-3欧拉公式的适用范围临界应力的经验公式三、临界应力的经验公式2crab当临界应力超出比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。临界应力由经验公式计算。式中：—压杆的长细比；a、b—与材料有关的常数,可查表确定。直线公式抛物线公式crab,ssssaabb工程力学13四、临界应力总图§9-3欧拉公式的适用范围临界应力的经验公式临界应力总图：临界应力与柔度的函数关系曲线。p1、：大柔度杆或细长杆，根据欧拉公式计算。2、：中柔度杆，根据经验公式计算。sp3、：小柔度杆或短粗杆，根据强度问题计算。s工程力学14§9-3欧拉公式的适用范围临界应力的经验公式例：Q235钢制成的矩形截面杆，受力及两端约束情况如图所示，A、B二处为销钉连接。已知l=2300mm，b=40mm，h=60mm，材料的弹性模量E=205GPa，试求此杆的临界载荷。工程力学15§9-3欧拉公式的适用范围临界应力的经验公式解：在正视图平面内弯曲时，截面将绕z轴转动，A、B二处视为铰支约束；在俯视图平面内弯曲时，截面将绕y轴转动，A、B二处视为固定端约束；311223132.6zzzzzIbhhIiAli30.599.51223yyyyyIbhblIiAi工程力学16§9-3欧拉公式的适用范围临界应力的经验公式zy由于压杆将在正视图平面内失稳。且有：132.6132zp可用欧拉公式计算临界载荷222962()20510406010276.2kN132.6crcrEFAbh工程力学17一、稳定条件[]crcrstFAn[]crcrstFFFn[]crstFnnF§9-4压杆稳定的校核与合理设计1、许可载荷法：2、极限应力法：3、安全系数法：上述三式称为压杆的稳定条件。稳定安全因数只能根据试验与实践的经验来确定，除应遵循确定安全因数的一般原则外，应考虑加载偏心与压杆初曲率等不利因素。故稳定安全因数已不能大于强度安全因数。工程力学18cmdi14123761382pil222350.0066876196.4crabMPaMPaAP66.6304.04108023196.43.08363.66crstnn例:一螺旋式千斤顶，材料为Q235钢。若螺杆旋出的最大长度l=38cm，内径d0=4cm，。最大起重量F=80kN，规定的稳定安全系数nst=3，试校核螺杆的稳定性。解:将螺杆简化为下端固定，上端自由的压杆,故。柔度为:故属中小柔度杆螺杆的实际工作应力为螺杆的实际安全系数为故千斤顶的螺杆是稳定的。§9-4压杆稳定的校核与合理设计螺杆的惯性半径为:工程力学19根据欧拉公式：22)(lEIFcr且越大越稳定。crF1、减小压杆长度l2、减小长度系数（增强约束）3、增大截面惯性矩I（合理选择截面形状）4、增大弹性模量E（合理选择材料）§9-4压杆稳定的校核与合理设计二、压杆的合理设计故，增加压杆稳定性的措施有：工程力学201、减小压杆长度l§9-4压杆稳定的校核与合理设计工程力学212、减小长度系数（增强约束）§9-4压杆稳定的校核与合理设计工程力学223、增大截面惯性矩I（合理选择截面形状）§9-4压杆稳定的校核与合理设计工程力学234、增大弹性模量E（合理选择材料）大柔度杆22)(lEIFcr中柔度杆bacr§9-4压杆稳定的校核与合理设计工程力学24结束