修改版：定积分的概念ppt

1.5.3定积分的概念（一）前面我们一起解决了两个问题：1,求曲边梯形的面积2,求物体做变速运动的位移abxyo?A曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.)(xfy实例1（求曲边梯形的面积）如图一、问题再现求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)取近似,求和:任取xi[xi-1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似之。(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xixD1lim()niniSfxxD1()niiSfxxD(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿xban-11211,,,,,,,,,iinaxxxxxxb--V虽然是变速，但在很短一段间隔内，V的变化不大，可近似看作是匀速运动问题。V(T)AB设物体作直线运动,,0)(tv且计算在这段时间内物体所经过的路程。连续函数,)(tvv],[21TT是时间间隔已知速度上的（求变速直线运动的路程）实例2路程=速度×时间.匀速直线运动：t1T2T0t1t2t1-itit1-ntntix(1)分割,21101TtttttTnii-(2)近似代替()iiisvtxDD11nniiiiissvtxDD(3)求和(4)取极限1lim().niinisvtxD21iTTtn-D),,2,1(ni（求变速直线运动的路程）实例2求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程的共同特征：归纳提炼1.都通过“四部曲”——分割、近似代替、求和、取极限来解决问题.()1nfxiiixD2.都归结为求同一种类型的和式的极限问题.3.解决问题的思想方法相同——在局部小范围内“以直代曲”、“以不变代变”和“逼近”的思想.我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分.由此我们可以给定积分的定义.二、定积分的定义定义如果函数在上连续，用分点x1,x2,x3....xn即()fx[,]ab[,]ab01inaxxxxb将区间等分成n个小区间，1[,]iixx-在每个小区间上任取一点作和式(1,2,,),iinx11()()nniiiiibafxfnxx-D当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数（极限值）叫做函数在的定积分，n()fx[,]ab(),bafxdx记作：即1()lim()nbianibafxdxfnx-定积分的定义：定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)——叫做被积函数，f(x)dx—叫做被积表达式，x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。1()lim()ninibafxdxfnx-ba即Oabxy)(xfybaIdxxf)(iinixfD)(lim10x被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限积分区间],[baSbaf(x)dx；按定积分的定义，有(1)由连续曲线yf(x)(f(x)0)，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为sbav(t)dt。定积分的定义：Oab()vvttv1()lim()ninibafxdxfnx-ba即112001()3Sfxdxxdx根据定积分的定义右边图形的面积为xyOf(x)=x213S1SD2SD2()2vtt=-+Ovt12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD112005()(2)3Svtdttdt-根据定积分的定义左边图形的面积为1S=5/31.()bafxdx是一个和式的极限，是一个确定的常数2.当xfiniD)(1x的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间ba,的分法及xi点的取法无关。f(x)[a,b]注意3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有bababaduufdttfdxxf)()()(A.与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数无关)(xfy在ba,上连续，则定积分badxxf)(的值4.及x轴所围成的曲边梯形的面积，用定积分表示为12xy与直线3,1xx1.由曲线dxx)1(2312-2[-2,2]0A222)1(dxx3.定积分练习-223sintdt中，积分上限是积分下限是________2.积分区间是Oxyabyf(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、特别地，当ab时，有baf(x)dx0。三、定积分的几何意义当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，xyOabyf(x)上述曲边梯形面积的负值。积分baf(x)dx在几何上表示baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。-SSyf(x),0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xf-baAdxxf)(曲边梯形的面积的相反数也就是：y)(xfyaxbxxoAy)(xfyaxbxAxo特别地，当ab时，有baf(x)dx0。abyf(x)Oxy()ygx探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?abyf(x)Oxy1()baSfxdx()ygx12()()bbaaSSSfxdxgxdx--2()baSgxdx性质1：性质2：被积函数的常数因子可以提到积分号外()(bbaakf(x)dxkfxdxk，为常数)四、定积分的基本性质dxxgdxxfdxxgxfbababa)()()]()([)(差分等于它们定积分的和函数的和（差）的定积三:定积分的基本性质定积分关于积分区间具有可加性bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f性质3.()()()()bdcbaadcfxdxfxdxfxdxfxdxOxyabＣdaby=f(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。cOxy理论迁移课本例1利用定积分定义，计算.333332211123(1)4niinnn提示：解题步骤：⑴分割；⑵近似代替、作和；⑶取极限dxx103分割化整为零近似代替，求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限小结定积分的实质：特殊和式的极限．定积分的思想和方法：定积分的几何意义：曲边梯形的面积(或面积的相反数)定积分的概念（二）-----题型课定积分的定义:几何意义:性质：回顾：1()lim()nbianibafxdxfnx-定积分等于曲边图形面积或面积的相反数可提性加减分配率区间可加性()()()()bdcbaadcfxdxfxdxfxdxfxdx()(bbaakf(x)dxkfxdxk，为常数)dxxgdxxfdxxgxfbababa)()()]()([理论迁移课本例1P47利用定积分定义，计算.333332211123(1)4niinnn提示：解题步骤：⑴分割；⑵近似代替、作和；⑶取极限dxx103例2利用几何意义计算下列定积分．(1)ʃ3－39－x2dx；(2)ʃ30(2x＋1)dx.解(1)在平面上y＝9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，如图(1)所示其面积为S＝12·π·32.由定积分的几何意义知ʃ3－39－x2dx＝92π.(2)在平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线．ʃ30(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3围成的直角梯形OABC的面积，如图(2)所示，其面积为S＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知ʃ30(2x＋1)dx＝12.跟踪训练2用定积分的意义求下列各式的值．(1)ʃ3－1(3x＋1)dx；(2)1－x2dx.解(1)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：ʃ3－1(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，∴ʃ3－1(3x＋1)dx＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)·2＝503－23＝16.(2)由y＝1－x2可知，x2＋y2＝1(y≥0)图象如图，由定积分的几何意义知1－x2dx等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和，S弓形＝12×23π×12－12×1×1×sin23π＝π3－34，S矩形＝|AB|·|BC|＝2×32×12＝32，∴1－x2dx＝π3－34＋32＝π3＋34.练习册：P45，46，47讲练作业布置