傅立叶变换概念

1第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念第八章Fourier变换§8.2单位冲激函数§8.1Fourier变换的概念§8.3Fourier变换的性质2第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念§8.1Fourier变换的概念Fourier变换在工程技术中有广泛的应用。微积分课程:周期函数的Fourier级数一、周期函数的Fourier级数二、非周期函数的Fourier变换简单总结3第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念一、周期函数的Fourier级数1.简谐波)cos()(0tAtx简谐波:周期(秒)；02TTF1:频率(赫兹Hz)。tbta00sincos振幅角频率相位204第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念nnn=1(A)+∞,sincos2)(000tbtaatfnnT在上满足:]2/,2/[TT则在连续点:(1)连续或只有有限个第一类间断点；(2)只有有限个极值点.设周期为T的实函数，)(tfT定理2.Fourier级数的三角形式一、周期函数的Fourier级数(Dirichlet定理),dcos)(22/2/0TTTnttnωtfTaDirichlet条件,dsin)(22/2/0TTTnttnωtfTb,20Tωπ称之为基频。(Fourier级数的历史回顾)5第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念3.Fourier级数的物理含义,cosnnnAa,sinnnnAb，200aA,22nnnbaA令则(A)式变为OnAnanbn,)sincos(2)(0100tnωbtnωaatfnnnT(A)改写一、周期函数的Fourier级数P184)cos()(100nnnTθtnωAAtf6第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念这些简谐波的(角)频率分别为一个基频的倍数。0ω频率成份，其频率是以基频为间隔离散取值的。”0ω这是周期信号的一个非常重要的特点。3.Fourier级数的物理含义)cos()(100nnnTθtnωAAtf认为“一个周期为T的周期信号并不包含所有的)(tfT意义周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和，表明一、周期函数的Fourier级数Tωπ20基频7第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念例如：方波4个简谐波的逼近100个简谐波的逼近8第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念相位nθ反映了在信号中频率为的简谐波)(tfT0nω这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。3.Fourier级数的物理含义反映了频率为的简谐波在信号中0nω)(tfT振幅nA所占有的份额；沿时间轴移动的大小。一、周期函数的Fourier级数)cos()(100nnnTθtnωAAtfTωπ20基频9第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念4.Fourier级数的指数形式代入(A)式并整理得:由Euler公式,sincos00j0etnωjtnωtnω)1(j得,2cos00ee0tjnωtjnωtnω2sin00ee0tjnωtjnωjjtnω.)e2e2(2)(1000ntjnωnntjnωnnTjbajbaatf推导,)sincos(2)(0100tnωbtnωaatfnnnT(A)已知一、周期函数的Fourier级数P18310第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念4.Fourier级数的指数形式.)e2e2(2)(1000ntjnωnntjnωnnTjbajbaatf推导则有令,200ac,2nnnjbac,2nnnjbac其中,,de)(12/2/0TTtjnωTnttfTc,2,1,0n,)(0entjnωnTctf(B)称(B)式为Fourier级数的指数形式。定义一、周期函数的Fourier级数11第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念5.离散频谱与频谱图,00Ac，221||||22nnnnnAbacc得OnAnanbnnbnnc2nc2,200ac,2nnnjbac分析,2nnnjbac由即的模与辐角正好是振幅和相位。nc,argargnnnθcc.)0(n称为频谱，记为nc.)(0ncnωF称为振幅谱，称为相位谱；||ncncarg定义一、周期函数的Fourier级数P18512第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念5.离散频谱与频谱图频谱图O|)(|0nωF00203040020304O00203040020304)(arg0nωF一、周期函数的Fourier级数.)(0ncnωF0nω13第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念傅里叶级数是一种从时域到频域的变换。例求矩形波函数延拓为Ｔ周期函数的傅立叶级数的复指数形式和离散频谱.解：不妨令T=4,1||1()0||1tftt44()()nftftn11otf(t)1113T=4f4(t)t0022,422nnnT000221()TjntjnjntnTnncefedeT14第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念则2221421111()()44TnnnTjtjtjtnTcftedtftedtedtT4sin12njtnnnfte于是113T=4f4(t)tnF21111sin111(0,1,2,)4421nnnjtjjnnnneeenjj将Cn以竖线标在频率图上15第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念二、非周期函数的傅立叶变换Fourier级数:周期函数工程实际问题中:大多是非周期函数16第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念二、非周期函数的傅立叶变换(1)非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数”。1.简单分析)(tft)(tfTt)(tfTt2/T2/T)(lim)(tftfTT17第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念例如将前例的周期扩大一倍,令T=8,得周期为8的周期函数f8(t)，这时0022844,nnnT1sin111(0,1,2,)8841nnnjtjjnnnneeenii224184111188()()TnnnTjtjtjtnTcftedtftedtedtT则在T=8时,再将Cn以竖线标在频率图上117T=8f8(t)t18第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念如果再将周期增加一倍,令T=16,可计算出0sin12(0,1,2,),8168nnnnncnnn18则在T=16时,再将Cn以竖线标在频率图上当周期T越来越大时,各个频率的简谐波的频率间隔越来越小,而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状。因此,如果将方波函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数,则它也可以看作是由无穷多个无穷小的简谐波构成,将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是方波函数f(t)的各个频率成份上的分布,称作方波函数f(t)的傅里叶变换。19第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念当T越来越大时，取值间隔越来越小；当T趋于无穷时，取值间隔趋向于零，因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。其频谱是以为间隔离散取值的。Tπω20即频谱将连续取值。(2)当时，频率特性发生了什么变化？T二、非周期函数的傅立叶变换1.简单分析Fourier级数表明周期函数仅包含离散的频率成份，分析20第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念(3)当时，级数求和发生了什么变化？T二、非周期函数的傅立叶变换1.简单分析tjnωnTTtjnωTTttfT00ede)(1lim][2/2/0nω,nω记为节点0ω,ω将间隔记为得ωπωπT220由tjnωnnTc0elim)(tf)(limtfTT分析ωttfπtjωnωωtjωTωnnede)(lim21][//0)(tf(C)P18721第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念则按照积分定义，在一定条件下，(C)式可写为)(ωgT记,ede)(][//tjωωωtjωTttfωωgπnnTω)(lim210)(tfωttfπtjtjdede)(21][)(tf(3)当时，级数求和发生了什么变化？T二、非周期函数的傅立叶变换1.简单分析结论级数求和变成函数的积分。ωttfπtjωnωωtjωTωnnede)(lim21][//0)(tf(C)22第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念.d|)(|ttf(2)绝对可积，即),(上的任一有限区间内满足Dirichlet条件；(1)在二、非周期函数的傅立叶变换定理设函数满足)(tf.)]0()0([21tftf的间断处，公式的左端应为在)(tf2.Fourier积分公式称(D)式为Fourier积分公式。定义则在的连续点处，有)(tf)(tfωttfπtjtjdede)(21][(D)P187定理8.223第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念(2)Fourier逆变换(简称傅氏逆变换))(tf)(F称为傅氏变换对，记为与.)()(Ftf二、非周期函数的傅立叶变换ttfωFtde)()(j)]([tfde)(21)(jtFπtf)]([F1(1)Fourier正变换(简称傅氏正变换)定义其中，称为象原函数．称为象函数，)(tf)(F3.Fourier变换的定义P188定义8.124第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念.e|)(|)()(argFjFF二、非周期函数的傅立叶变换4.Fourier变换的物理意义与Fourier级数的物理意义一样，Fourier变换同样称为振幅谱；称为相位谱。|)(|F)(argF刻画了一个非周期函数的频谱特性，不同的是，非周期函数的频谱是连续取值的。一般为复值函数，故可表示为称为频谱密度函数(简称为连续频谱或者频谱)；)(F定义)(F反映的是中各频率分量的分布密度，它)(tfP18825第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念jjaja2)e(e2aattdejaatjje1)e(e1jajaj.sin2aaa)(Fttftde)(j解)]([tf(1))(tfaa1OtP188例8.226第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念)(F(2)振幅谱为aaasin2)(argFaπnaπnπaπnanπ)22(||)12(,)12(||2,0相位谱为解|)(|F2aOπaπa)(argFOππaπa主瓣旁瓣27第八章傅立叶变换§8.1Fourier变换的概念(3)求Fourier逆变换，即可得到Fourier积分表达式。解dcossin221taπdsinsin22taπj