内力与内力图

前面在研究力系的合成与平衡时，将物体看作是刚体，没有考虑物体的变形。第三节内力与内力图引言本篇将在第一篇的基础上，进一步研究物体在力作用下的变形和破坏规律。在研究问题时，物体看成变形体。基本概念在建筑物中，承担荷载并起骨架作用的部分称为结构。组成结构的各单个部分称为构件。为了保证建筑结构安全、正常地工作，我们必须保证组成结构的每个构件都安全可靠，能够承担应当承受的荷载，即构件要满足承载能力的要求。构件的承载能力主要包括如下三个方面：⒈强度：构件抵抗破坏的能力。构件满足强度要求时，在荷载作用下不发生破坏。⒉刚度：构件抵抗变形的能力。构件满足刚度要求时，在荷载作用下产生的变形在允许变形的范围内。⒊稳定性：构件保持原有平衡状态的能力。有些构件（例如细长的受压杆）在荷载大到一定程度时，会突然失去它原有的平衡状态，从而不能正常使用，称为丧失稳定。正常使用的构件应具有保持它原有平衡状态的能力。说明工程中设计合理的构件首先应考虑使构件满足强度、刚度、稳定性这三方面的要求。但实际工程中设计构件时，除了应考虑上述三方面要求外，还必须考虑尽可能选用合适的材料和节省用量。显然安全可靠与经济节约这两方面是互相矛盾的。本篇就为解决这一矛盾提供系统的力学计算原理和基本方法。一、内力和应力的概念1.内力：这种相互作用力由于外力作用作用而引起的变量，称为附加内力，简称内力。内力是由外力引起的，并随外力的增加而增大，当达到某一极限值时，杆件就会发生破坏。分析杆件内力通常采用截面法。即用一个假想的截面将杆件分开，任取其中一部分研究对象（或称隔离体），然后利用平衡条件求解截面内力的方法。2.应力的概念为了解决杆件的强度问题，只知道杆件的内力是不够的。因为根据经验我们知道：用同种材料制作两根粗细不同的杆件并使这两根杆件承受相同的轴向拉力，当拉力达到某一值时，细杆将首先被拉断（发生了破坏）。这一事实说明：杆件的强度不仅和杆件横截面上的内力有关，而且还与横截面的面积有关。细杆将先被拉断是因为内力在小截面上分布的密集程度（简称集度）大而造成的。因此，在求出内力的基础上，还应进一步研究内力在横截面上的分布集度。受力杆件截面上某一点处的内力集度称为该点的应力。FP1FP2⊿FRAFAFpAddlimRR0pστ分解与截面垂直的分量σ---正应力与截面相切的分量τ---切应力工程中应力的单位常用Pa和MPa。1Pa=1N/m21MPa=1N/mm21kPa=103Pa1MPa=106Pa（1）应力是针对受力杆件的某一截面上某一点而言的，所以提及应力时必须明确指出杆件、截面、点的位置。说明：1GPa=109Pa=103MPa（2）应力是矢量，不仅有大小还有方向。对于正应力σ通常规定：拉应力（箭头背离截面）为正，压应力（箭头指向截面）为负，如图所示；στ对于切应力τ通常规定：顺时针（切应力对研究部分内任一点取矩时，力矩的转向为顺时针）为正，逆时针为负，如图所示。τσ（3）内力与应力的关系：内力在某一点处的集度为该点的应力；整个截面上各点处的应力总和（各点应力与微面积乘积的总和）等于该截面上的内力。应力=力/面积二、杆件变形的基本形式1.轴向拉伸或压缩→轴力（截面处）它们的共同特点：作用于杆上外力（或外力合力）的作用线与杆轴线重合，在这种受力情况下，其主要变形是纵向伸长或缩短。这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。这类构件称为拉（压）杆，如图所示。二、杆件变形的基本形式2.剪切→剪力（截面处）在工程中，我们会遇到这样一类构件，构件受到一对大小相等，方向相反，作用线相互平行且相距很近的横向外力。在这样的外力作用下，构件的主要变形是：这两个作用力之间的截面沿着力的方向产生相对错动，习惯上称这种变形为剪切变形。FF图中的铆钉产生剪切变形时只有一个剪切面,称为单剪；图中的销钉有两个剪切面，称为双剪。二、杆件变形的基本形式3.扭转→扭矩（截面处）在垂直杆件轴线的两平面内，作用一对大小相等、转向相反的力偶时，杆件就产生扭转变形。MM二、杆件变形的基本形式4.弯曲→弯矩（截面处）杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。1、求内力的基本方法——截面法为了计算杆件的内力，需要先用一个假想的平面将杆件“截开”，使杆件在被切开位置处的内力显示出来，然后取杆件的任一部分作为研究对象，利用这部分的平衡条件求出杆件在被切开处的内力，这种求内力的方法称为截面法。截面法是求杆件内力的基本方法。不管杆件产生何种变形，都可以用截面法求出内力。下面以轴向拉伸杆件为例，介绍截面法求内力的基本方法和步骤。三、轴向拉伸和压缩时的内力FPFP⑴截开：用假想的截面，在要求内力的位置处将杆件截开，把杆件分为两部分。⑵代替：取截开后的任一部分为研究对象，画受力图。画受力图时，在截开的截面处用该截面上的内力代替另一部分对研究部分的作用。FPFNFNFP⑶平衡：由于整体杆件原本处于平衡状，因此被截开后的任一部分也应处于平衡状态。FPFNFN=FP2.轴向拉（压）杆的内力——轴力与杆件轴线相重合的内力称为轴力。并用符号FN表示。规定：拉为正，压为负单位：牛顿或千牛顿，记为N或kN。例1-1一等截面直杆受力如图所示，试求1-1、2-2截面上的内力。7kN8kN15kN11227kN8kNFN1FN2FN1=7kNFN2=-8kNFN1为正，说明与假设方向一致，即FN1为拉力。FN2为负，说明与假设方向相反，即FN2为压力。几点说明：（1）用截面法计算轴力时通常先假设轴力为拉力，这样计算结果为正表示轴力为拉力，计算结果为负表示轴力为压力。（2）列平衡方程时，轴力及外力在方程中的正、负号由其投影的正、负决定，与轴力本身的正、负无关。（3）计算轴力时可以取被截开处截面的任一侧研究，计算结果相同。但为了简化计算，通常取杆段上外力较少（简单）的一侧研究。（4）在将杆截开之前，不能用合力来代替力系的作用，也不能使用力的可传性原理以及力偶的可移性原理。因为使用这些方法会改变杆件各部分的内力及变形。例1-2图示直杆受轴向外力作用，试求杆件各段横截面上的轴力。18kN6kN11226kNFN118kN6kNFN1=6kNFN2FN2=6-18=-12kN为了形象地表明杆的轴力随横截面位置变化的规律，通常以平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，即x坐标；以垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力，即FN坐标。并按适当比例将轴力随横截面位置变化的情况画成图形。这种表明轴力随横截面位置变化规律的图形称为轴力图。3、轴力图从轴力图上，可以很直观地看出最大轴力所在位置及数值。习惯上将正轴力画在上侧，负值画在下侧。例1-3试画图示等截面直杆的轴力图。A20kN15kNBCD20kN15kNFNABFNBCFNCD-20kN15kN０A20kNB20kN15kND20kNFN图20kN15kN1.受弯构件和平面弯曲(1)弯曲:杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。(2)梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。四、受弯构件的内力(3)平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。(4)梁的基本形式①简支梁③外伸梁②悬臂梁2.用截面法求梁的内力求：图示梁距A端x处截面上内力。解：①求反力FAYFBY②求内力弯曲构件内力1.弯矩：M构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。FA-V=0得V=FAM-FAYx=0得M=FAx2.剪力：FQ构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。0YF0OM3.剪力和弯矩的正负规定:①剪力FQ:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。②弯矩M：使梁变成下凸的为正弯矩；使梁变成上凸的为负弯矩。【例1-4】简支梁如下图所示，试求1-1、2-2、3-3截面上的剪力和弯矩。例1-5悬臂梁如图求：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：(1)求支反力,qlFAy221qlMA(2)求剪力方程和弯矩方程)()(xlqxV)(xM2xl2)(21xlq)(xlq4.剪力图和弯矩图(3)画剪力图和弯矩图L例1-6简支梁如图求：求其剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。例画梁AB的内力图a)0xa解：(1)求支反力(2)求剪力方程和弯矩方程b)axl(3)画剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图的步骤(1)求支座反力；(2)建立坐标系(一般以梁的左端点为原点)；(3)分段在载荷变化处分段；(4)列出每一段的剪力方程和弯矩方程；(5)根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和弯矩图。