10.动量定理

§10–1动量与冲量1、质点的动量：2、质点系的动量：iniivmp129399PPzPzPyPyPxPx:iiiciiiciiic式见由重心坐标公式niiniiicPrPr11:写成一个矢量表达式vmpMrmmrmgmrgmrniiiniiniiiniiniiic11111cniiivMvmp1于是iniivmp1CVMp或此式为质心的位矢表达通式质点系的动量还可以用质心的速度与总质量的乘积来度量.Mvmvniiic1:数有对上式求时间的一阶导3、冲量——力在一段时间内的积累效应tFIdtFIt0（1）当力F为常量，（2）当力F是变量，在微小时间段dt内，力F的冲量称为元冲量,而力F在时间t内的冲量是矢量积分，dtFId已知:AB匀质2m1，OC匀质m1，A和B质量均为m2，OC=AC=CB=L，求此时系统的动量。ACBOtC1CV1CV本题中,求系统的动量的方法有好几种.譬如先求出AB杆,OC杆的质心的速度和A、B物块的速度,分别乘以各自的质量再矢量和起来.(用合矢量投影定理)也可以先求系统的质心坐标,进而求出质心的速度再乘以总质量.但是,最简单的方法是:.VVmVmm2pCC1C211相同方向与因为C点不仅是AB杆的质心,同时也是AB杆和A、B物块组成的系统的质心.而C1是OC杆的质心.由本结构的特点可知这两点的速度是很容易求的.并且它们的方向是相同的.另解.建立坐标求质心.tlmmmmmmtlmtlmtmmxmxliiiCcos2324523cos2cos2cos2121212121tlmmmmmmtlmtlmtmmymyliiiCsin2324523sin2sin2sin2121212121tlmmmmxCsin232452121tlmmmmyCcos232452121tlmmxmmxMpCCxsin245232121tlmmymmyMpCCycos245232121ACBOtC1CV1CVxyxyACBOtC1CV1CV112121222245CCyxVmVmmlmmpppOCpttctgpptgxy090习补:已知OA=l1,AB=l2,轮子的半径为R,且作纯滚动.三者为均质且质量皆为m.在图示瞬时,OA杆的角速度为.求系统的动量.OAB1v2vBvmlmlmllmmvmvmvpB25221方向水平向左解:首先求出各物体质心的速度.三个物体的质心速度的方向相同.动量的矢量和转化为代数和.§10－2质点系的动量定理一、质点的动量定理由牛顿第二定理,得质点动量定理的微分形式：质点动量定理的积分形式：FvmdtdFamIdtFvmvmdtFvmdt00二、质点系的动量定理eiiiiiFFdtvmd:,动量定理可写成对系统内任意一质点.,外力个质点上的力第表示系统以外的作用在内力个质点的力对第表示系统内其余的质点其中iFiFeiiieiniiiniiiniFFdtvmd111einiiininiiiFFvmdtd111)(设有一质点系{mi}(i=1、2、3、…)对整个质点系,动量定理可写成:微分号与求和号交换后::.所以有系统的内力之和为零)2(11einiiniiFam)4()3()(11einiceinicFaMFvMdtd:式还可以写成最普遍的形此五式均是动量定理的不同形式亦称质心运动定理)1()(11eininiiiFvmdtd对于一封闭的质量系统，（1）式可写成将动量用总质量与质心的速度的乘积表示，则（1）式可写成：)5(1einiFdtpd几点说明:1.前面的公式(1)(2)(3)(4)(5)的力学意义是等价的,适用于不同的力学系统.其中(3)(4)两式也称为质心运动定理..,...1同的系统动量的影响却是相但是它们对同一个力学力系的力系并不一定是等效两个主矢相同系的主矢有关系统动量变化只与外力前面五个公式说明力学称为外力系的主矢量einiF23.前面五个公式是动量定理的导数形式,在本课程中最常用.还有相应的微分形式和积分形式.(见书上P247～248)4.动量定理是矢量定理,在具体用到相应的公式时一般用的是其投影形式.最常用的是直角坐标系下的投影ezzeyyexxFdtdPFdtdPFdtdP,,例一.(书上例10–1)电动机的外壳固定在水平基础上,定子的质量为m1,转子的质量为m2.设定子的质心位于转轴的中心O1,而转子的质心O2由于制造的误差到O1的距离为e.已知转子以匀角速度ω转动,求基础的支座反力.解:取系统分析其受力与运动如图示,建立O1－xy坐标系(与静系固连).gmmemFgmgmFemmyyy)(coscos0212221221方向上：▲:(1)本题求出的Fx和Fy只是地脚螺栓和地面对基础底座作用力的等效力.(2)即使有未知的约束力偶,本题不可能求得.动量定理的式子里不会出现力偶或力矩.O1ωm1gm2gO2φanxyFxFyeiniiniiFam11由sinsin022221emFFemmxxx方向上：用质心运动定理求解:建立坐标系O1－xy如图示由质心坐标公式:212212212212coscossinsinmmtemmmemmymymmtemmmemmxmxiiiciiic21222122cossinmmtemymmtemxccgmgmFmmtemmmFmmtemmmFyMFxMyxiycixc21212221212221cos)(sin)(由质心运动定理gmmtemFtemFyx)(cossin212221O1ωm1gm2gO2φanxyFxFy例二、重为P1的物块A沿倾角为α重量为W的斜面下滑,通过滑轮及绳索带动重为P2的物块B运动.略去各处摩擦,不计滑轮和绳索的重量。求:物块运动时,台阶和地面对斜面的约束反力.a1WP2cosPPPsinPPcosgPPPsinPgPFFcosagP:x21211212112211方向投影a2a1P1WP21F2Fxy21221212111122PPPsinPWPPFPPWFsinagPagP:y1方向投影gPPPPaa212121sin:由已知条件可求得取系统分析解eiiiFam由a2P1补充习题:均质杆OA=2l,重P,绕过O端的水平轴在竖直面内转动.设转动到与水平成角时其角速度与角加速度分别为与.求:此时OA杆在O端的约束反力.OACP解:取杆分析其运动和受力.将O点的未知力沿质心运动的切向和法向分解.OPACnFFnCaCalalaCnC2由质心运动定理法向投影:sinsin2PlgPFPFagPnnnC由质心运动定理切向投影:lgPPFFPagPCcoscos§10－3质点系动量守恒,质心运动守恒.(1)如果一质点系统的外力系的主矢等于零,(不可说外力系为零)(2)或系统的质心的速度为一常矢;则系统的动量保持为一常矢量.若开始静止，则质心位置始终不变。(3)如果一质点系统的外力系的主矢在某一方向上的投影为零,(4)或系统的质心的速度在此方向上的投影不变；则系统的动量在此方向上的投影保持为一常量.若开始时质心速度投影等于零，则质心沿此方向的坐标保持不变。▲:在什么情况下用动量定理?(1)求刚体尤其刚体系统或质点系统的约束反力及线加速度问题.(2)守恒条件下的速度、位移和运动轨迹问题.Av例三.(书上例10－3)物块A的质量为mA,可沿光滑水平面自由滑动.小球B的质量为mB,以不计质量的细杆与之固连,细杆的另一头铰接在物块A上,杆长为L.初始时系统静止并有初始角φ0.释放后,细杆以φ=φ0cost的规律摆动(是常数)。求:物块A的最大速度.rv解:水平方向上系统的动量守恒.BAooBBArBAmmttLmmmvmvcoscossincos)'2()1(得由BAoBAmmLmvt2AvLBAφMBgφ10)cos(rABAAvvmvm任何时候在水平方向上都有:)'2(sin)2(sincostLLvttoroo又续例三.(书上例10－3)求:物块A的运动方程.解:系统的质心在水平方向守恒以初始时系统质心在水平的投影为A块运动方程的坐标原点，由质心水平方向守恒AvLBAφMBgxφo0sinBABACmmxLmxmxBABmmLmxsinBAooBBABmmttLmmmLmxcoscossincosC0sinxLmxmBA2L例四.(书上习10－4)均质杆AB=L,直立于光滑的水平面上.求它从铅直位置无初速地倒下时,端点A的运动轨迹..14sincos22222点的轨迹为椭圆可得消去ALyLxLyLxAAAAOCαABxy.:杆的质心坐标守恒由题意可知水平方向解AB.建立坐标系如图0cx任意时刻都有例五.静止于水中的小船上,一个人自船头走到船尾.设人的质量为m2,船的质量为m1,船长为L,水的阻力不计.求船的位移.解:由题意,系统的质心在x方向守恒.因初始静止,故质心的水平坐标值始终为一常数.21221212121:)()(mmLmsmmLsamsbmmmambmxc所以有▲:(1)坐标系的位置与船的位移无关,故可任选.(2)s的方向也可选择与x轴方向相反,其结果负号.表明s的实际方向向右.xxybagm1gm2Lgm2gm1设船向右的位移为s,于是有:补例:一质量为210kg的小船静止地靠在岸边附近.船头站立一人,质量70kg.此人目测自己离岸边的距离为0.8m,于是便采取了如下的方法上岸:先将身体的重心前倾0.4m,然后迈腿前跨0.4m.结果他却踏入水中.假如他目测的距离是正确的.船在水中的阻力忽略不计.求他跨入水中时,脚离岸边的距离.解:人船系统质心守恒，设脚离岸边的距离，（即船向右移动的距离）xypbbppbbbpbppbbCmmxmxmmmxmxmx4.0bppbbbppbbxmxmxmxm4.0mmmmpbpb1.0280284.0答:此人跨人水中,脚离岸边有0.1m.b例六.(习10－6)质量为m的滑块A可以水平光滑槽中运动,具有刚性系数为k的弹簧一端与滑块A相连,另一端固定.杆AB的长度为L,其质量忽略不计.其一端与滑块铰接,另一端固接一质量为m1的小球.小球在铅垂平面内可绕A点运动.设在力偶M的作用下角速度ω是常数.求滑块A的运动微分方程及滑槽对A的约束力.gm1AkφMB=t解:取系统分析.选弹簧原长时与A点重合的点为坐标原点,当滑块的A点运动到距坐标原点为x时,系统的受力及运动分析如图所示.LakxFnr2▲:此题的特点在于系统的水平力可用坐标表示而系统中有一个物体的运动情况已知,故可能用动量定理描述另一个物体的运动.xFωABφm1gmgFNnraxxxLtLmkxxmmkxtLmxmxmFLxmxmxFamni