2013数学建模协会讲座3

教学目标培养“翻译”能力培养用数学思想方法的综合应用分析能力培养想象力发展观察力，形成洞察力培养交流与表达的能力熟练使用技术手段科技论文写作能力1汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背景与问题•正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。•实现这个规则的简便办法是“2秒准则”：•后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样；建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。问题分析常识：刹车距离与车速有关10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(9米)车身的平均长度15英尺(=4.6米)“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同刹车距离反应时间司机状况制动系统灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候……最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。车速常数反应距离制动距离常数假设与建模1.刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和2.反应距离d1与车速v成正比3.刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;vtd11Fd2=mv2/2Fm21kvvtdt1为反应时间21ddd且F与车的质量m成正比22kvd•反应时间t1的经验估计值为0.75秒参数估计•利用交通部门提供的一组实际数据拟合k21kvvtd模型最小二乘法k=0.06计算刹车距离、刹车时间车速(英里/小时)(英尺/秒)实际刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒准则”应修正为“t秒准则”22106.075.0vvkvvtd模型车速(英里/小时)刹车时间（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3车速（英里/小时）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234•现实世界中普遍存在着优化问题•静态优化问题指最优解是数(不是函数)•建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数•求解静态优化模型一般用微分法静态优化模型2存贮模型问题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。问题分析与思考•每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。•10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元，总计9500元。•50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100=122500元，准备费5000元，总计127500元。平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次平均每天费用最小吗?每天费用5000元•这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数——每天总费用的平均值•周期短，产量小•周期长，产量大问题分析与思考贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小模型假设1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2；3.T天生产一次（周期）,每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建模目的设r,c1,c2已知，求T,Q使每天总费用的平均值最小。4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模型建立0tq贮存量表示为时间的函数q(t)TQrt=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.一周期总费用TQccC2~21每天总费用平均值（目标函数）2~)(21rTcTcTCTC离散问题连续化AcdttqcT202)(一周期贮存费为A=QT/22221rTccrTQ模型求解Min2)(21rTcTcTC求T使0dTdC212crcrTQ212rccT模型分析QTc,1QTc,2QTr,模型应用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)•回答问题•经济批量订货公式（EOQ公式）212rccT212crcrTQ每天需求量r，每次订货费c1,每天每件贮存费c2，用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型•问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次(周期),每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货。允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费c3,缺货需补足T1rTQAcdttqcT2021)(一周期贮存费BcdttqcTT331)(一周期缺货费周期T,t=T1贮存量降到零2)(2213121TTrcQTccC一周期总费用rTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天总费用平均值（目标函数）213121)(2121TTrcQTccC一周期总费用Min),(QTC求T,Q使332212cccrccT323212ccccrcQ为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T’,Q记作Q’212rccT212crcrTQ不允许缺货模型QQTT,332ccc记1QQTT','13cQQTT,332212'cccrccT323212'ccccrcQ允许缺货模型不允许缺货3c332212cccrccT323212ccccrcQ允许缺货模型0qQrT1tT注意：缺货需补足Q~每周期初的存贮量R每周期的生产量R（或订货量）332212ccccrcTrRQ~不允许缺货时的产量(或订货量)QQR3生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。问题市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。分析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大trtgttQ4)80)(8()(求t使Q(t)最大rggrt240410天后出售，可多得利润20元建模及求解生猪体重w=80+rt出售价格p=8-gt销售收入R=pw资金投入C=4t利润Q=R-C=pw-C估计r=2，若当前出售，利润为80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660640g=0.1敏感性分析研究r,g变化时对模型结果的影响估计r=2，g=0.1rggrt2404•设g=0.1不变5.1,6040rrrtt对r的（相对）敏感度rrttrtS/Δ/Δ),(trdrdt3604060),(rrtS生猪每天体重增加量r增加1%，出售时间推迟3%。1.522.5305101520rt敏感性分析估计r=2，g=0.1rggrt2404研究r,g变化时对模型结果的影响•设r=2不变15.00,203gggtt对g的（相对）敏感度tgdgdtggttgtS/Δ/Δ),(32033),(ggtS生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。0.060.080.10.120.140.160102030gt强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由S(t,r)=3建议过一周后(t=7)重新估计,再作计算。wwpp,,,研究r,g不是常数时对模型结果的影响w=80+rtw=w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gtp=p(t)若(10%),则（30%）2.28.1w137t0)(tQ每天利润的增值每天投入的资金ttwtptQ4)()()(练习：梯子长度问题问题:如图所示,在一栋楼房的后面有一个很大的花园,在花园的边上有一个紧靠着楼房的温室,温室伸入花园2米,高3米,在温室的正上方是楼房的窗台,现有一架7米长的梯子,我们能否将这架梯子的一端放在花园中,另一端靠在楼房的墙上,使得梯子不碰坏温室棚?若否,问梯子至少应为多长?