2011-2012复变函数试卷及答案B

12011-2012第一复变函数(B)数理学院牟丽君自动化及信息学院各专业辛友明王琳（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）选择题（每小题3分，共15分）1、若f()coszz，则下列结论不成立的是__________.A.在z平面上解析B.是周期函数C.在z平面上有界D.在z平面上导数是sinz2、设C为正向圆周1z，则2csindz(2)zz=__________.A.1B.0C.sin2D.cos23、幂级数3n0()nzin的收敛圆域为__________.A.31||zinB.||1ziC.||1zD.1||zn4、1z是函数2(1)zezz的_____级极点.A．可去奇点B．二级极点C．三级极点D.本性奇点5、若函数f()t的Laplace变换为[()]()ftFs，则下面说法错误的是____.A．[()]()(0)ftsFsfB.[()]()ateftFsaC．[()]()tftFsD.[()]()sfteFs填空题（每小题3分，共15分）1、1ie_________.课程考试试题学期学年拟题人:校对人:拟题学院（系）:适用专业:22、10dzizze________.3、函数2()ftt，则其拉氏变换是_________.4、函数321()(1)zfzz，则Res[(),1]fz_________.5、设5(1i)z，则其辐角主值argz＝_________.是非判断题（每小题2分，共10分）1、3243ii.()2、解析函数的虚部是实部的共轭调和函数..（）3、若f()z在点0z可导，则f()z在0z解析.（）4、幂级数的和函数在幂级数的收敛圆周上一定有奇点.（）5、函数()cosftkt的傅里叶逆变换是cosjwtktedw.（）计算题（每小题12分，共60分）1、计算积分1）2sindz1zzz；2）222dz(1)zzzz.2、函数()Re()fzzz在何处可导？何处解析？若导数存在，求其导数.3、求函数21(1)z在0z的泰勒展式，并指出其泰勒级数的收敛范围.4、将函数11zz在圆环域1z内展开成洛朗级数.5、计算积分20dxcos3x.3拟题学院（系）：数理学院适用专业：自动化及信息学院各专业2011－2012学年第一学期复变函数B试题标准答案（答案要注明各个要点的评分标准）一、选择题（3*5=15）1．C2．B3．B4．B5．D二、填空：（3*5=15）1．(cos1sin1)ei2．11iie或1sin1cos1eie3．32s4．35．34三．判断题(2*5=10)1．错2．对3．错4．对5．错四．计算题（5*12=60）1、解：1）被积函数的奇点有1z在C内，（1分）由柯西积分公式（2分）原式2sin1i（4分）2）被积函数的奇点有0z和1z且都在C内，（6分）分别绕0和1作位于C内的简单闭路1C和2C，由复合闭路定理（7分）原式122222(1)dzdz(1)CCzzzzzz（8分）由柯西积分公式及高阶导数公式（9分）上式21022()(1)zzzzzz（11分）220（12分）2、解：函数的定义域为复平面2f()Re()()zzzxiyxxixy（2分）拟题人：牟丽君书写标准答案人：牟丽君4由已知2(,),(,)uxyxvxyxy（3分）而2,0,uvxxxyuvyyx（5分）若函数可导须满足柯西黎曼方程,uvuvxyyx（7分）即2,0xxy所以0,0xy（9分）所以，函数在原点可导，此时，f()0uvzixx（10分）但在整个复平面不解析.（12分）3、解：由于21(1)z的解析区域是除1z外的区域，（1分）所以离0z最近的奇点是-1，故收敛半径是1，收敛圆域是1z（4分）因为211()1(1)zz（7分）而在1z内01(1)1nnnzz（9分）所以111()(1)1nnnnzz（11分）11211(1)(1)nnnnzz（12分）4、解：因为12111zzz（2分）在1z内，可知11z（4分）5因为221111zzz（7分）11111nnzz（10分）所以21211nnzzz（12分）5、解：令ize（2分）则21cos2zz,dzdiz（4分）因此2201d1dz13cos32zzizz（6分）212dz61zizz12dz[(322)][(322)]zizz（8分）(322)212[(322)]ziiz（10分）22（12分）